Pi

π je iracionalan broj; to jest, ne može se napisati kao odnos dva cela broja. Ovo je dokazao Johan Hajnrih Lambert 1761. godine. Zapravo, ovaj broj je transcendentan, što je dokazao Ferdinand fon Lindeman 1882. godine. To znači da ne postoji netrivijalan polinom sa racionalnim koeficijentima, čiji je π koren.

Važna posledica transcedentnosti ovog broja je činjenica da nije konstruktibilan. Ovo znači da je nemoguće izraziti π koristeći samo konačan broj celih brojeva, razlomaka, i nad njima četiri osnovne i operaciju kvadratnog korenovanja. Ovo dokazuje da nije moguće izvršiti kvadraturu kruga: nemoguće je konstruisati (koristeći samo lenjir i šestar) kvadrat čija je površina jednaka površini datog kruga. Razlog je taj da su, polazeći od jediničnog kruga i tačke ${\displaystyle (1,0)}$  na njemu, koordinate svih tačaka koje se mogu konstruisati korišćenjem lenjira i šestara konstruktibilni brojevi.

π se pojavljuje u dosta formula u geometriji koje se tiču krugova, elipsi, valjaka, kupa i lopti.

Geometrijski oblik	Formula
obim kruga poluprečnika -{r}- i prečnika -{d}-	${\displaystyle O=\pi d=2\pi r\,\!}$
Površina kruga poluprečnika -{r}-	${\displaystyle P=\pi r^{2}\,\!}$
Površina elipse sa poluosama -{a}- i -{b}-	${\displaystyle P=\pi ab\,\!}$
Zapremina kugle poluprečnika -{r}-	${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\,\!}$
Površina kugle poluprečnika -{r}-	${\displaystyle P=4\pi r^{2}\,\!}$
Zapremina valjka visine -{H}- i poluprečnika -{r}-	${\displaystyle V=\pi r^{2}H\,\!}$
Površina valjka visine -{H}- i poluprečnika -{r}-	${\displaystyle P=2(\pi r^{2})+(2\pi r)H=2\pi r(r+H)\,\!}$
Zapremina kupe visine -{H}- i poluprečnika -{r}-	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}H\,\!}$
Površina kupe visine -{H}- i poluprečnika -{r}-	${\displaystyle P=\pi r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+H^{2}}})\,\!}$

Takođe, ugao od 180° (u stepenima) iznosi π radijana.

Dosta formula u analizi sadrži π, uključujući predstavljanja u obliku beskonačnog reda (i beskonačnog proizvoda), integrale i takozvane specijalne funkcije.

• Fransoa Vijet, 1593:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\ldots }$ 

• Lajbnicova formula:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$ 

Ovaj često navođeni beskonačni red najčešće se piše u gornjem obliku, dok je tehnički ispravan zapis:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)={\frac {\pi }{4}}}$ 

• Valisov proizvod:

${\displaystyle {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}$ 

• Integral verovatnoće, poznat iz kalkulusa (vidi takođe i Funkcija greške i Normalna raspodela):

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$ 

• Bazelski problem, koji je prvi rešio Ojler (vidi takođe i Rimanova zeta-funkcija):

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ 

${\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$ 

i, uopšte, ${\displaystyle \zeta (2n)}$  je racionalni umnožak broja ${\displaystyle \pi ^{2n}}$  za svako prirodno n.

• Vrednost Gama-funkcije u tački 1/2:

${\displaystyle \Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}}$ 

• Stirlingova aproksimaciona formula:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ 

• Ojlerov identitet (kojeg je Ričard Fejnman nazvao "najizvanrednijom formulom u matematici"):

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;}$ 

• Osobina Ojlerove φ-funkcije:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\phi (k)\sim 3n^{2}/\pi ^{2}}$ 

• Površina jedne četvrtine jediničnog kruga:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\pi \over 4}}$ 

• Specijalan slučaj Ojlerove formule za ${\displaystyle e^{ix}\,}$ :

${\displaystyle e^{i\pi }\,\!+1=0}$ 

• Osnovni slučaj Teoreme o ostacima:

${\displaystyle \oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i}$ 

π ima puno predstavljanja u obliku verižnih razlomaka, kao što je na primer:

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{3+{\frac {4}{5+{\frac {9}{7+{\frac {16}{9+{\frac {25}{11+{\frac {36}{13+...}}}}}}}}}}}}}$ 

Neki rezultati iz Teorije Brojeva:

• Verovatnoća da su dva slučajno izabrana cela broja uzajamno prosta je 6/π².
• Verovatnoća da je slučajno izabran ceo broj beskvadratan je 6/π².
• U proseku, broj načina da se dati prirodan broj napiše kao zbir dva savršena kvadrata (redosled sabiraka je bitan) je π/4.

Ovde, "verovatnoća", "prosek" i "nasumičan" su uzeti u smislu granične vrednosti; tj. posmatra se verovatnoća odgovarajućeg događaja u skupu brojeva -{ {1,2, ... N} }-, a zatim uzima granična vrednost te verovatnoće kada -{N→∞}- (-{N}- je "jako veliko").

U teoriji dinamičkih sistema (vidi takođe ergodička teorija), za skoro svako realno -{x₀}- u intervalu [0,1],

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}}}={\frac {2}{\pi }}\,,}$ 

gde su -{x_i}- iterirane vrednosti logističkog preslikavanja za -{r = 4}-.

U fizici, pojava broja π u formulama je najčešće stvar dogovora i normalizacije. Na primer, korišćenjem uprošćene Plankove konstante ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$  može se izbeći pisanje broja π eksplicitno u velikom broju formula u kvantnoj mehanici. Zapravo, uprošćena varijanta je i bazičnija, a prisustvo faktora 1/2π u formulama koje koriste h može se smatrati naprosto uslovljenom uobičajenom definicijom Plankove konstante.

• Hajzenbergov princip neodređenosti:

${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}$ 

• Ajnštajnova jednačina polja opšte teorije relativnosti:

${\displaystyle R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}}$ 

• Kulonov zakon za električnu silu:

${\displaystyle F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}}$ 

• Magnetna permeabilnost slobodnog prostora:

${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm {H/m} \,}$ 

U verovatnoći i statistici postoji puno raspodela, čiji analitički izrazi sadrže π, uključujući:

• Gustina raspodele verovatnoće za normalnu raspodelu sa matematičkim očekivanjem μ i standardnom devijacijom σ:

${\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}}$ 

• Gustina raspodele verovatnoće za (standardnu) Košijevu raspodelu:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}}$ 

Treba primetiti da se, kako je ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1}$  za svaku Funkciju gustine raspodele verovatnoće -{f(x)}-, pomoću gornjih formula može dobiti još integralnih formula za π.

Zanimljiva empirijska aproksimacija broja π zasnovana je na problemu Bufonove igle. Posmatrajmo opit u kojem se igla dužine -{L}- baca na ravan na kojoj su označene dve paralelne prave na međusobnom rastojanju -{S}- (gde je -{S}->-{L}-). Ako se igla na slučajan način baci veliki broj -{(n)}- puta, od kojih se x puta zaustavi tako da seče jednu od pravih, onda približnu vrednost broja π možemo dobiti korišćenjem formule

${\displaystyle \pi \approx {\frac {2nL}{xS}}}$ 

Simbol "π" za Arhimedovu konstantu je prvi put uveo 1706. godine matematičar Vilijam Džouns kada je objavio Novi uvod u matematiku (-{A New Introduction to Mathematics}-), mada je isti simbol još ranije korišćen da naznači obim kruga. Ova oznaka postala je standardna nakon što ju je usvojio Leonard Ojler. U oba slučaja, 'π' je prvo slovo reči περιμετρος (perimetros), što znači 'meriti okolo' na grčkom jeziku.

Evo kratke hronologije broja π:

Zbog transcedentne prirode broja π, ne postoje prikladni zatvoreni izrazi za π. Stoga, numerička izračunavanja moraju koristiti približne vrednosti (aproksimacije) broja. Za puno potreba, 3.14 ili 22/7 je dovoljno blizu, iako inženjeri često koriste 3.1416 ili 3.14159 (5, odnosno 6 značajnih cifara) radi veće preciznosti. Aproksimacije 22/7 i 355/113, sa 3 i 7 značajnih brojki, se dobijaju iz jednostavnog razvoja π u verižni razlomak.

Pored toga, sledeća numerička formula daje aproksimaciju π sa 9 ispravnih cifara:

${\displaystyle (63/25)((17+15{\sqrt {5}})/(7+15{\sqrt {5}}))}$ 

Egipatski pisar po imenu Ahmes je izvor najstarijeg poznatog teksta koji daje približnu vrednost broja π. Rajndov papirus datira iz egipatskog drugog srednjeg perioda—mada Ahmes tvrdi da je prepisivao papirus iz Srednjeg kraljevstva—i opisuje vrednost tako da je dobijeni rezultat zapravo 256 podeljeno sa 81, tj. 3.160.

Kineski matematičar Liu Hui je izračunao π do 3.141014 (tačno do 3 decimalna mesta) 263. godine i predložio da je 3.14 dobra aproksimacija.

Indijski matematičar i astronom Arjabhata dao je preciznu aproksimaciju za π. On je napisao: "Dodaj četiri na sto, pomnoži sa osam, a onda dodaj šezdesetdvehiljade. Rezultat je približno jednak obimu kruga prečnika dvadesethiljada. Ovim pravilom dat je odnos između obima i prečnika." Drugim rečima, (4+100)×8 + 62000 je obim kruga prečnika 20000. Ovo daje vrednost π = 62832/20000 = 3.1416, tačnu kada se zaokruži na 4 decimalna mesta.

Kineski matematičar i astronom Zu Čongži je izračunao π do 3.1415926–3.1415927, i dao dve aproksimacije: 355/113 i 22/7 (u 5. veku).

Iranski matematičar i astronom Gijat ad-din Džamšid Kašani (1350–1439) je izračunao π do 9 cifara u brojnom sistemu sa osnovom 60, što je ekvivalentno sa 16 decimalnih mesta kao:

2 π = 6.2831853071795865

Nemački matematičar Ludolf van Cojlen (oko 1600) je izračunao prvih 35 decimala. Bio je tako ponosan na svoje dostignuće da ih je dao urezati u svoj nadgrobni spomenik.

Slovenački matematičar Jurij Vega je 1789. izračunao prvih 140 decimala, od kojih je prvih 137 bilo tačno i držao je svetski rekord 52 godine—sve do 1841—kada je Vilijam Raderford izračunao 208 decimalnih mesta, od kojih su prva 152 bila tačna. Vega je poboljšao formulu Džona Mejčina iz 1706; njegov metod se spominje i danas.

Nijedna od gore datih formula ne može da posluži kao efikasni način nalaženja približnih vrednosti broja π. Za brza izračunavanja, mogu se koristiti formule poput Mejčinove:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$ 

zajedno sa Tejlorovim razvojem funkcije -{arctan(x)}-. Ova formula se najlakše proverava korišćenjem polarnih koordinata kompleksnih brojeva, krenuvši od:

${\displaystyle (5+i)^{4}\cdot (-239+i)=-114244-114244i.}$ 

Formule ove vrste su poznate kao formule slične Mejčinovoj.

Ekstremno dugački decimalni razvoji broja π se po pravilu računaju Gaus-Ležandrovim algoritmom i Borvajnovim algoritmom; Salamen-Brentov algoritam koji potiče iz 1976. godine je takođe korišćen u prošlosti.

Prvih milion cifara brojeva π i 1/π su dostupni na Projektu Gutenberg (vidi spoljne veze dole). Trenutni rekord (decembar 2002) ima 1 241 100 000 000 cifara, koje su izračunate u septembru iste godine na 64-čvornom Hitači superračunaru sa jednim terabajtom radne memorije, koji vrši 2 biliona operacija u sekundi, skoro duplo više od računara korišćenog za prethodni rekord (206 milijardi cifara). Korišćene su sledeće formule slične Mejčinovoj:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$  –K. Takano (1982).

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$  –F. C. V. Štermer (1896).

Ove približne vrednosti imaju toliko puno cifara da više nemaju nikakvog praktičnog značaja, izuzev za testiranje novih superračunara i (očigledno) za ustanovljavanje novih rekorda u izračunavanju broja π.

1996. godine Dejvid H. Bejli je, zajedno sa Piterom Borvajnom i Sajmonom Plufeom, otkrio novu formulu za π u obliku zbira beskonačnog reda:

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)}$ 

Ova formula omogućava da se lako izračuna -{k}-^ta binarna ili heksadecimalna cifra broja π bez potrebe za računanjem prethodnih -{k}- − 1 cifara. Bejlijeva veb-strana Arhivirano 2003-05-01 na Wayback Machine-u sadrži izvođenje ove formule, kao i njenu implementaciju u raznim programskim jezicima. PiHeks projekat je izračunao 64-bite oko milijarditog bita broja π (koji je, uzgred, 0).

Ostale formule koje su do sada korišćene za izračunavanje približnih vrednosti π uključuju:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+{\frac {4}{9}}(1+...)\right)\right)\right)}$  —Njutn.

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$  —Ramanudžan.

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}}$  —David Čudnovski i Grigorij Čudnovski.

${\displaystyle {\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}}$  —Ojler.

Na računarima sa Majkrosoft Vindous operativnim sistemom, program PiFast može se koristiti za brzo izračunavanje velikog broja cifara. Najveći broj cifara broja π izračunat na kućnom računaru je 25 000 000 000, za koje je PiFast-u trebalo 17 dana.

Otvoreno pitanje o ovom broju koje naviše pritiska jeste da li je π normalan broj—da li se ma koji blok cifara javlja u njegovom decimalnom razvoju upravo onoliko često koliko bi se statistički moglo očekivati ako bi se cifre proizvodile potpuno "nasumično". Ovo mora da bude tačno u bilo kojoj osnovi, a ne samo u dekadnom sistemu (osnovi 10). Sadašnje znanje u ovom smeru je veoma oskudno; na primer, ne zna se čak ni koje se od cifara (0,...,9) pojavljuju beskonačno često u decimalnom razvoju ovog broja.

Bejli i Krendal su pokazali 2000. godine da postojanje gore pomenute Bejli-Borvajn-Plufe formule i sličnih formula povlači da se tvrđenje o normalnosti broja π i raznih drugih konstanti u osnovi 2 može svesti na izvesnu razumnu pretpostavku u Teoriji haosa. Za pojedinosti, pogledajte gore navedeni Bejlijev sajt.

Takođe nije poznato da li su π i e algebarski nezavisni, tj. da li postoji netrivijalna polinomska relacija između ova dva broja sa racionalnim koeficijentima.

Džon Harison (1693–1776) je stvorio muzički sistem izveden iz π. Ovaj Lusi tjuning sistem, (zbog jedinstvenih matematičkih osobina broja π) može da oslika sve muzičke intervale, harmonije i harmonike. Ovo sugeriše da bi se korišćenjem π mogao dobiti precizniji model za analizu kako muzičkih, tako i drugih harmonika u vibrirajućim sistemima.

U ne-euklidskoj geometriji, zbir uglova trougla može da bude manji ili veći od π radijana, a odnos obima kruga i njegovog prečnika može se takođe razlikovati od π. Ovo ne menja njegovu definiciju, ali utiče na mnoge formule gde se π pojavljuje. Pa tako, posebno, oblik univerzuma ne utiče na π; π nije fizička nego matematička konstanta, definisana nezavisno od ma kakvih fizičkih merenja. Razlog zašto se π pojavljuje tako često u fizici je jednostavno zato što je podesan u mnogim fizičkim modelima.

Posmatrajmo, kao primer, Kulonov zakon:

${\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{r^{2}}}}$ .

Ovde, ${\displaystyle 4\pi r^{2}\,}$  je naprosto površina lopte poluprečnika -{r}-. U ovoj formi, ovo je pogodan način opisivanja inverzne kvadratne veze između sile i rastojanja -{r}- od tačkastog izvora. Naravno, bilo bi moguće da se ovaj zakon opiše na druge, ali manje zgodne—ili u nekim slučajevima zgodnije načine. Ako koristimo Plankovo naelektrisanje, Kulonov se zakon može opisati kao ${\displaystyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$  čime se uklanja potreba za π.

• Kontakt (Kontakt)—naučno-fantastično delo Karla Sagana, a kasnije filmska adaptacija Džodi Foster. Sagan razmatra mogućnost potpisa, koji su u decimalni razvoj broja π ugradili stvaraoci univerzuma.
• π (film)—O vezi između brojeva i prirode: otkrivanje takve veze a da niste numerolog.
• -{Time's Eye}- (Oko vremena)—Naučna fantastika Artura Č. Klarka i Stivena Bakstera. U svetu koji su prestrojile vanzemaljske sile, primećuje se sferična naprava čiji je odnos obima i prečnika po svim ravnima—tačan ceo broj 3.

Postoji celo polje humorističkog, ali i ozbiljnog izučavanja koje uključuje korišćenje mnemonika za lakše pamćenje cifara π i zove se pifilologija. Pogledajte Pi mnemonike za primere na engleskom jeziku.

14. mart (3/14 u SAD) je Pi dan kojeg proslavlja veliki broj ljubitelja ovog broja. 22. jula, proslavlja se Dan aproksimacije broja pi (22/7 je popularna aproksimacija).

Štaviše, mnogi ljudi govore i o "pi sati" (3:14:15 je malo manje od pi sati; 3:08:30 bi bilo najbliže broju π sati posle podneva ili ponoći u celim sekundama).

Još jedan primer matematičkog humora je sledeća aproksimacija π: Uzmite broj "1234", zamenite mesta prvim dvema i poslednjim dvema ciframa, tako da broj postaje "2143". Podelite taj broj sa "dva-dva" (22, pa je 2143/22 = 97.40909...). Uzmite dvo-kvadratni koren (četvrti koren) od ovog broja. Konačan rezultat je izuzetno blizu π: 3.14159265.

• Grčko slovo π
• Kalkulus
• Geometrija
• Trigonometrijske funkcije
• Pi kroz eksperiment
• Dokaz da je π transcedentno
• Jednostavan dokaz da je 22/7 veće od π
• Pi (film)
• Pi dan
• Lusi tjuning

 

Pi na Wikimedijinoj ostavi

• Wikisource Pi do 1000 mesta Arhivirano 2004-06-19 na Wayback Machine-u | 10000 mesta Arhivirano 2004-06-17 na Wayback Machine-u | 100000 mesta Arhivirano 2004-06-17 na Wayback Machine-u | 1000000 mesta Arhivirano 2004-07-06 na Wayback Machine-u
• E-tekst na Projektu Gutenberg koji sadrži milion cifara Pi Arhivirano 2004-07-01 na Wayback Machine-u
• Arhive broja Pi računatog do milion ili deset miliona mesta Arhivirano 2006-01-26 na Wayback Machine-u
• Search π Arhivirano 2005-10-18 na Wayback Machine-u—pretraži i odštampaj Pi do 400 miliona mesta
• Statistike o prvih 1.2 biliona cifara Pi Arhivirano 2010-01-09 na Wayback Machine-u
• Baner koji sadrži približno 220 miliona cifara pi

• Izračunavanje pi: projekat otvorenog koda za izračunavanje pi
• PiFast: brz program za računanje Pi sa velikim brojem cifara
• PiHeks projekat Arhivirano 2005-04-03 na Wayback Machine-u
• Super Pi: još jedan program za izračunavanje pi-ja do 33.55 milionite cifre

• Pi strane Arhivirano 2005-02-04 na Wayback Machine-u
• Istorija Pi-ja
• Kolekcija formula sličnih Mejčinovoj za Pi Arhivirano 2004-05-29 na Wayback Machine-u
• Dokaz da je Pi iracionalan
• PiFakts -probijeni rekord
• O knjizi -{The Joy of Pi}-
• dosta formula za π na stranicama Volfram Riserč
• PlanetMath: Pi Arhivirano 2010-01-24 na Wayback Machine-u
• Jahu grupa pi hakera Arhivirano 2005-02-09 na Wayback Machine-u
• Nalaženje vrednosti pi
• dokaz da pi postoji
• Klub prijatelja broja Pi (engleski i nemački)
• određivanje Pi
• LucyTuning—muzičko štimanje izvedeno iz Pi Arhivirano 2005-02-05 na Wayback Machine-u

(Svi mnemonici su na engleskom jeziku.)

• Andreas P. Hacipolakis: Pifilologija. Mesto sa stotinama primera mnemonika za π. Arhivirano 2006-06-05 na Wayback Machine-u
• Pamćenje Pi kroz poeziju
• Pi-memory Arhivirano 2008-03-19 na Wayback Machine-u