Trigonometrijske funkcije

Osnovne trigonometrijske funkcije sinus, kosinus i tangens se obično definšu pomoću pravouglog trougla, slika desno.

${\displaystyle x=r\cdot \cos \phi ,\;y=r\cdot \sin \phi ,\;{\frac {y}{x}}=\operatorname {tg} \phi .}$ 

Pozitivan matematički ugao ima suprotan smer od kazaljke na satu, slično kao i kretanje Sunca u odnosu na sunčevu senku na slici 2.

Na slici (3) dole je kružnica poluprečnika jedan sa centrom u ishodištu, tj. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,}$  koja se zove trigonometrijska kružnica. U sledećoj definiciji i teoremi (1), tangens i kotangens (b) se u anglosaksonskim zemljama označavaju tan i cot, kosekans (v) se i kod nas i vani ponekad označava cosec.

Definicija 1

Trigonometrijske realne funkcije ugla φ definišu se jednakostima

(a) ${\displaystyle \cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi =1,\,}$  sinus i kosinus su realni brojevi;

(b) ${\displaystyle \operatorname {tg} \phi ={\frac {\sin \phi }{\cos \phi }},\;\operatorname {ctg} \phi ={\frac {\cos \phi }{\sin \phi }},}$  tangens i kotangens;

(v) ${\displaystyle \sec \phi ={\frac {1}{\cos \phi }},\;\csc \phi ={\frac {1}{\sin \phi }},}$  sekans i kosekans.

(g) ${\displaystyle \operatorname {vercos} \phi =1-\sin \phi ,\;\operatorname {versin} =1-\cos \phi ,}$  kosinus versus i sinus versus.

Funkcije (v), a naročito (g) retko srećemo.

Teorema 1

(a) ${\displaystyle {\overline {OA}}=\cos \phi ,\;{\overline {OC}}=\sin \phi ,}$  kosinus i sinus;

(b) ${\displaystyle {\overline {BE}}=\operatorname {tg} \phi ,\;{\overline {FG}}=\operatorname {ctg} \phi ,}$  tangens i kotangens;

(v) ${\displaystyle {\overline {OE}}=\sec \phi ,\;{\overline {OG}}=\csc \phi ,}$  sekans i kosekans.

Dokaz

Tačka T sa slike 1. ovde (sl.2.) je tačka D.

(a) Sledi neposredno zbog poluprečnika r = 1.

(b) Uočimo slične trouglove ${\displaystyle \Delta EBO\sim \Delta DAO,}$  odakle ${\displaystyle {\overline {BE}}:{\overline {OB}}={\overline {AD}}:{\overline {OA}},}$  tj. ${\displaystyle {\overline {BE}}:1=\sin \phi :\cos \phi ;}$  uočimo slične trouglove ${\displaystyle \Delta GFO\sim \Delta OAD,}$  odatle ${\displaystyle {\overline {FG}}:{\overline {FO}}={\overline {OA}}:{\overline {AD}},}$  tj. ${\displaystyle {\overline {FG}}:1=\cos \phi :\sin \phi .}$ 

(v) Iz istih sličnih trouglova (b) dobijamo ${\displaystyle {\overline {OE}}:{\overline {OB}}={\overline {OD}}:{\overline {OA}},}$  tj. ${\displaystyle {\overline {OE}}:1=1:\cos \phi ;}$  zatim ${\displaystyle {\overline {OG}}:{\overline {OF}}={\overline {OD}}:{\overline {AD}},}$  tj. ${\displaystyle {\overline {OG}}:1=1:\sin \phi .}$  Kraj dokaza.

Na prethodnoj slici (3) predstavljen je Dekartov pravougli sistem koordinata i tačka D na trigonometrijskoj kružnici. Ugao BOD = φ može neograničeno rasti dok pokretni krak ugla (OD) prolazi redom kroz prvi, drugi, treći i četvrti kvadrant, a zatim ponovo po istom krugu. Dakle, ugao φ može rasti do 360° i dalje. Pri tome se projekcije tačke D na apscisu i ordinatu uvek računaju kao kosinus i sinus ugla φ. To znači da je kosinus pozitivan kada je tačka D u prvom i četvrtom kvadrantu, a da je sinus pozitivan kada je tačka D u prvom i drugom kvadrantu. Detaljno to vidimo u sledećoj tabeli:

Takođe je lako proveriti tačnost formula za svođenje vrednosti trigonometrijskih funkcija na funkcije uglova iz prvog kvadranta:

${\displaystyle \cos(180^{o}-\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(180^{o}-\phi )=\sin \phi ,}$ 

${\displaystyle \cos(180^{o}+\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(180^{o}+\phi )=-\sin \phi ,}$ 

${\displaystyle \cos(-\phi )=\cos \phi ,\;\sin(-\phi )=-\sin \phi .}$ 

Funkcije kosinus i sinus su periodične sa osnovnim periodom 360°, a funkcija tangens je periodična sa periodom 180°:

${\displaystyle \cos(360^{o}+\phi )=\cos \phi ,\;\sin(360^{o}+\phi )=\sin \phi ,\;\operatorname {tg} (180^{o}+\phi )=\operatorname {tg} \phi .}$ 

Funkcije uglove većih od 360 stepeni prethodnim formulama se svode na funkcije manjih uglova, a zatim dalje, ako je potrebno, na prvi kvadrant. Zato su veoma važne trigonometrijske tablice uglova iz prvog kvadranta. Za neke od tih uglova se funkcije lakše izračunavaju:

Najčešće vrednosti trigonometrijskih funkcija

${\displaystyle \phi \,}$	0°	30°	45°	60°	90°
${\displaystyle \sin \phi \,}$	0	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	1
${\displaystyle \cos \phi \,}$	1	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	0
${\displaystyle \operatorname {tg} \phi }$	0	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	1	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \pm \infty }$

Jedan od načina izračunavanja ovih vrednosti je prikazan u pregledu osnovnih uglova. Iz tabele se vidi da su već kod "osnovnih" uglova trigonometrijske funkcije iracionalni brojevi i da bi slični izrazi za druge uglove mogli biti još složeniji. Jednostavniji od tih složenijih izraza bio bi, na primer ${\displaystyle \sin 15^{o}={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}},}$  i to je najmanji ugao čiji se sinus može predstaviti pisanjem proste algebarske kombinacije racionalnih brojeva i korenova. Vekovima su trigonometrijske vrednosti zapisivane u trigonometrijske tablice, na 5 do 10 decimala, a u poslednje vreme koristi se skoro isključivo računar ili kalkulator.

Kada tačka D jednom obiđe kružnicu pređe put 2π odnosno napravi 360°. Luk dužine π odgovara uglu 180° - ispruženi ugao, π/2 je 90° - pravi ugao, π/3 je 60°, π/4 je 45°, π/6 je 30°, i uopšte luk dužine x radijana odgovara uglu 360x/2π stepeni. Za jedan radijan, h = 1, dobija se ugao 57,2957795... stepeni, tj. u stepenima, minutama i sekundama 57°17'44,8". Jedan stepen ima 60 minuta, a jedna minuta ima 60 sekundi. Izrazi minute i sekunde potiču od latinskih reči: partes minutae primae i partes minutae secundae, tj. prvi mali delovi i drugi mali delovi. Matematički tekstovi za jedinicu ugla podrazumevaju radijan.

Trigonometrijske funkcije se, takođe, mogu predstavljati (beskonačnim) redovima:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...}$ 

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+...}$ 

Ovi redovi se mogu upotrebiti i za definisanje trigonometrijskih funkcija kompleksnog broja z, i hiperboličkih funkcija.

Pregled skoro svih osobina trigonometrijskih funkcija koje se tiču rešavanja trouglova dat je u prilogu: ravninska trigonometrija. U posebnom prilogu mogu se pronaći dokazi za adicione formule, gde spadaju i formule za dvostruke uglove, zatim polovine uglova, te predstavljanje zbira i razlike trigonometrijskih funkcija pomoću proizvoda i obratno, i izražavanje ostalih trigonometrijskih funkcija pomoću tangensa polovine ugla. Inače je

${\displaystyle \sin x={\frac {\operatorname {tg} x}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}},\quad \cos x={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}}.}$ 

Takođe, u posebnom prilogu se nalaze trigonometrijske jednačine. Ono što sledi jesu dodatne, analitičke osobine funkcija, i neki dokazi.

Na slici (4) levo vidimo tetivu ${\displaystyle {\overline {DAH}}}$  koja je sigurno kraća od luka ${\displaystyle {\widehat {DBH}}.}$  Tetiva je najkraće rastojanje između dve tačke na kružnici. Zato je polutetiva ${\displaystyle {\overline {DA}}}$  kraća od poluluka ${\displaystyle {\widehat {DB}}.}$  Trougao OAD, sa oštrim uglom φ je pravougli. Pravi ugao je u temenu A, kateta OA iznosi ${\displaystyle \cos \phi }$ , kateta DA iznosi ${\displaystyle \sin \phi }$ , hipotenuza je dužine jedan. Kada je ugao u radijanima i ${\displaystyle 0<\phi <{\frac {\pi }{2}},}$  tada je

Teorema 1

${\displaystyle \lim _{\phi \to 0}\sin \phi =0,\;\lim _{\phi \to 0}\cos \phi =1.}$ 

Dokaz: Sledi iz ${\displaystyle 0<\sin \phi <{\widehat {DB}}=\phi }$  i ${\displaystyle 0<1-\cos \phi <{\overline {AB}}<{\overline {DB}}<{\widehat {DB}}=\phi .}$  Kraj.

Kada ugao teži nuli preko pozitivnih vrednosti, sinus je tada pozitivan, a negativan je kada ugao teži nuli preko negativnih vrednosti. Naprotiv, kosinus je u oba slučaja pozitivan. Iz toga proizilaze limesi za kotangens: ${\displaystyle \lim _{x\to +0}\operatorname {ctg} x=+\infty ,\;\lim _{x\to -0}\operatorname {ctg} x=-\infty .}$  Zamenom h sa komplementnim uglom dobićete odgovarajuće limese za tangens.

Teorema 2

${\displaystyle \lim _{x\to \ 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}$ 

Dokaz

Na slici (5) desno, površina pravouglog trougla OAD manja je od površine kružnog isečka OBD, a ova opet manja od površine pravouglog trougla OBE. Nazovimo sa h ugao BOE. Otuda ${\displaystyle {\frac {\sin x\cos x}{2}}<{\frac {x}{2}}<{\frac {\operatorname {tg} x}{2}}.}$  Podelimo li ove nejednakosti sa (pozitivnim) ${\displaystyle {\frac {\sin x}{2}},}$  dobićemo ${\displaystyle \cos x<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}},}$  a otuda ${\displaystyle {\frac {1}{\cos x}}>{\frac {\sin x}{x}}>\cos x.}$  Sa ${\displaystyle x\to 0}$  vredi ${\displaystyle \cos x\to 1,\;{\frac {1}{\cos x}}\to 1,}$  pa je ${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\to 1.}$  Sinus je parna funkcija pa je dokaz za negativne uglove isti. Kraj dokaza.

Izvod funkcije f(x) po definiciji je granična vrednost: ${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.}$ 

Teorema 3

(a) ${\displaystyle (\sin x)'=\cos x,\,}$ 

(b) ${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x,\,}$ 

(v) ${\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\sec ^{2}x.\,}$ 

Dokaz

(a) ${\displaystyle \Delta \sin x=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)\sin {\frac {\Delta x}{2}},}$  pa je

${\displaystyle {\frac {\Delta \sin x}{\Delta x}}={\frac {\cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}\rightarrow \cos x,}$  kada ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$  (teorema 2).

(b) Zbog ${\displaystyle \cos x=\sin({\frac {\pi }{2}}-x),}$  biće ${\displaystyle (\cos x)'=\cos({\frac {\pi }{2}}-x)\cdot ({\frac {\pi }{2}}-x)'=-\cos({\frac {\pi }{2}}-x)=-\sin x.}$ 

(v) Izvod količnika ${\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)'=}$ 

${\displaystyle ={\frac {\sin 'x\cos x-\cos 'x\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.}$  Kraj dokaza 3.

• Trigonometrijske jednačine