Iracionalni broj

Otkriće iracionalnih brojeva se vezuje za pitagorejce, konkretno za Hipasusa iz Metapontuma, koji je izveo (najverovatnije geometrijski) dokaz o iracionalnosti (nesamerljivosti) kvadratnog korena iz broja 2. Prema priči je Hipasus pokušao da dokaže da je hipotenuza jednakokrakog pravouglog trougla samerljiva sa katetom, odnosno današnjim rečnikom da je koren iz 2 moguće predstaviti razlomkom. Usred traženja takvog dokaza on je dokazao upravo suprotno. Pitagorejska sekta je među svojim dogmama imala da je svet u suštini matematički i da se sve u njemu može predstaviti odnosom brojeva. Brojevi koji se nisu mogli predstaviti tako su po njima bili van uma (lat. ratio) odnosno van pameti, pa ih je neko tako i nazvao, iracionalni (grčki alogon, što doduše može značiti i ono o čemu ne treba pričati). Hipasus je, izgleda, nekom van bratstva ispričao o svom otkriću. Pobesnela braća su ga uljudno pozvala na krstarenje i na pučini bacili preko palube.

U šesnaestom stoleću je konačno došlo do prihvatanja pojmova negativni brojevi, celobrojni i razlomljeni deo broja. U sedamnaestom stoleću je konačno prihvaćen decimalni brojni sistem u današnjem obliku od šire matematičke zajednice. Abraham de Moavr i Leonard Ojler, u sledećem stoleću, otkrivaju izuzetno upotrebljive osobine imaginarnog broja. U devetnaestom stoleću je kompletirana teorija kompleksnih brojeva, iracionalni brojevi su razdvojeni na algebarske i transcendentne, dokazano je postojanje transcendentnih brojeva i napravljen novi pristup u oblasti koja je nedirnuta od doba Euklida, teoriji iracionalnih brojeva. Godine 1872. su svoje teorije objavili Karl Vajerštras, Čarls Dedekind i Edvarda Hajne. Vajerštrasove i Dedekindove ideje dalje razrađuju Pinkerle i Taneri. Vajerštras, Kantor i Hajne su svoj rad zasnovali na redovima dok je Dedekind ideju našao u preseku ose realnih brojeva razdvajajući sve racionalne brojeve u dve grupe određenih osobina. Ova tema se dalje razrađuje kroz radove Vajerštrasa, Kronekera i Mireja.

Leonard Ojler je posvetio pažnju verižnim razlomcima, blisko povezanim sa iracionalnim brojevima, ali se tek u devetnaestom veku detaljno razrađuju u delima Žozef Luj Lagranža.

Kroneker je prvi razdvojio transcendentne brojeve od algebarskih. Lamber je 1761 dokazao da π nije racionalan broj. Dokazao je još da eⁿ nije racionalan ako je n racionalan (osim za n=0). Ležandr je 1794. godine dovršio Lamberov dokaz i još dokazao da π ne može biti kvadratni koren racionalnog broja. Žozef Liuvil je 1840. godine pokazao da ni e ni e² ne mogu biti rešenja kvadratne jednačine sa celobrojnim koeficijentima. Postojanje transendentnih brojeva je dokazao Liuvil 1844. godine ali je tek 1873. pokazan jedan takav. Čarls Hermit je tada dokazao da je e transendentan a Lindeman je 1882. godine to isto dokazao za π polazeći od Hermitovih zaključaka. Lindemanov dokaz je pojednostavio Vajerštras 1885. godine i Dejvid Hilbert 1893. godine a kasnije su se time bavili i Hurvic i Pol Albert Gordon.

Jedan dokaz iracionalnosti kvadratnog korena iz 2 se dokazuje dovođenjem u kontradikciju (reductio ad absurdum), omiljenom metodom starih Helena. Tvrdnja se dokazuje uvođenjem suprotne pretpostavke u odnosu na željenu i kroz dokazni postupak dolazimo do kontradikcije takvoj pretpostavci, što je eliminiše. Tako je naša željena pretpostavka ostala jedina moguća te je stoga tačna.

1. Pretpostavimo da je ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  racionalan broj. To znači da postoje prirodni brojevi ${\displaystyle a}$  i ${\displaystyle b}$  takvi da je ${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}}$ 
2. Tada ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  može biti napisan kao neskrativi razlomak ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ , što znači da su brojevi ${\displaystyle a}$  i ${\displaystyle b}$  uzajamno prosti prirodni brojevi i istovremeno ${\displaystyle ({\frac {a}{b}})^{2}=2}$ .
3. Sledi da je ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2}$  odakle je ${\displaystyle a^{2}=2\cdot b^{2}}$ .
4. Odavde je jasno ${\displaystyle a^{2}}$  paran broj, jer je predstavljen kao proizvod broja 2 i prirodnog broja.
5. Iz ovoga sledi da ${\displaystyle a}$  mora biti paran, jer je kvadrat parnog broja paran a neparnog broja neparan.
6. Pošto je ${\displaystyle a}$  paran, postoji takvo ${\displaystyle k}$  da važi ${\displaystyle a=2\cdot k}$ .
7. Kad ubacimo poslednju jednakost u (3) dobijamo: ${\displaystyle (2k)^{2}=2b^{2}}$ , što vodi do ${\displaystyle 4k^{2}=2b^{2}}$  odnosno posle skraćivanja sa 2 dobijamo ${\displaystyle 2k^{2}=b^{2}}$ .
8. Iz ovoga sledi da je ${\displaystyle b^{2}}$  paran broj jer je predstavljen kao proizvod dvojke i prirodnog broja. Potom iz ovoga sledi da je i ${\displaystyle b}$  paran jer samo parni brojevi imaju parne kvadrate.
9. Iz (5) i (8) sledi da su i a i b parni, što je u direktnoj suprotnosti sa pretpostavkom u (2) da su brojevi a i b uzajamno prosti.

Tako smo dokazali željeno, prvo pobijajući tu tvrdnju a potom dokazujući da nas to dovodi do apsurda i kontradikcije. Zaključak je, ne treba negirati početnu tvrdnju jer je ona tačna. Dakle ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  je iracionalan.

Ovaj dokaz može biti uopšten, da dokaže da je bilo koji koren bilo kog prirodnog broja ili prirodan broj ili iracionalan.

Primenom iste metode na drugačiji način možemo dokazati ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  iracionalan je manje poznat ali zavređuje da se predstavi. Dakle, ako je ${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}}$  tada se geometrijskom metodom, jednostavnom lenjir i šestar konstrukcijom može demonstrirati da je ${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}={\frac {2n-m}{m-n}}}$ .

Sa slike

je jasno da su veliki i mali pravougli trouglovi slični. Ako je odnos hipotenuze i katete kod velikog jednak m/n, gde su m i n uzajamno prosti, tada isti takav odnos postoji i kod manjeg i iznosi (2n-m)/(m-n). Ali pošto smo dobili odnos u kome su brojevi u razlomku manji nego u prvom razlomku zaključak je da smo upravo skratili imenilac i brojilac, što je u suprotnosti sa polaznom pretpostavkom da su m i n uzajamno prosti.

Ovo je dokaz u kome nema računa već isključivo geometrije, pa se može smatrati prihvatljivim starim helenskim geometrima.

Kada se duž podeli na dva dela na način da se duži deo prema celini odnosi na isti način kao kraći deo prema dužem, tada smo duž podelili u zlatnom odnosu. Kaže se još da smo napravili zlatan presek, čiji je odnos

${\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}.}$ 

Pretpostavimo da je ovaj broj racionalan, i predstavimo ga odnosom n/m gde su n i m uzajamno prosti. Neka je n dužina celine, a m dužina dužeg dela. Tada je dužina kraćeg dela n − m. Sledi da je tada

${\displaystyle {n \over m}={m \over n-m}}$ .

Ali ovo znači da smo pojednostavili razlomak koji, prema pretpostavci, nije mogao biti pojednostavljen, skraćen. To je kontradikcija, znači pretpostavka da je φ racionalan nije tačna.

Skoro svi iracionalni brojevi su transcendentni a istovremeno su svi transcendentni brojevi iracionalni. Poznati su sledeći primeri

• e^r je iracionalno, ako je r ≠ 0 racionalno;
• π^r je iracionalno, ako je r ≠ 0 racionalno;
• e^π je takođe iracionalno.

Drugi način konstrukcije iracionalnog broja je iracionalni algebarski broj tj. kao nula polinoma sa celobrojnim koeficijentima. Pođimo od jednačine

p(x) = a_n xⁿ + a_n-1 xⁿ⁻¹ + ... + a₁ x + a₀ = 0

gde su koeficijenti a_i celi brojevi. Pretpostavimo da postoji realan broj x takav da je p(x) = 0

Jedini mogući racionalni koren ovog polinoma je oblika r/s gde je r delilac a₀ i s je delilac a_n. Postoji konačan broj kandidata i svi se mogu proveriti pojedinačno. Ako nijedan od njih nije koren p, tada x mora biti iracionalno. Ova tehnika može biti korišćena da se pokaže da je x = (2^1/2 + 1)^1/3 iracionalan, jer tada je (x³ − 1)² = 2 odnosno x⁶ − 2x³ − 1 = 0, a ovaj polinom nema racionalne korene (jedini kandidati su ±1).

Zato što algebarski brojevi čine polje, mnogi iracionalni brojevi mogu biti konstruisani kombinovanjem transcendentnih i algebarskih brojeva. Na primer 3π+2, π + √2 i e√3 su iracionalni (i transcendentni).

Logaritmi su verovatno najjednostavniji za dokazivanje iracionalnosti. Sledi dokaz svođenjem na kontradikciju, da je log₂3 iracionalan:

Pretpostavimo da je log₂3 racionalan. Znači postoje prirodni brojevi m and n, takvi da je log₂3 = m/n.

Tada je 2^m/n = 3.

Odatle sledi 2^m = 3ⁿ.

Ali 2 na neki prirodan broj je uvek parno, a 3 na neki prirodan broj je uvek neparno. Sledi početna pretpostavka je pogrešna.

Slučajevi kao što je log₁₀2 se dokazuju slično.

Često se pogrešno zaključuje da matematičari definišu iracionalan broj u smislu decimalnog razvoja, nazivajući broj iracionalnim ako decimalni razvoj ima beskonačno cifara, a cifre se ne ponavljaju. Nijedan matematičar ne uzima ovo kao definiciju jer izbor osnove 10 za brojni sistem je prozvoljan a prava definicija je bolja i jednostavnija. Mada, istini za volju, tačno je da je broj oblika n/m, gde su n i m prirodni brojevi, ako i samo ako decimalni prikaz ima konačan broj cifara ili se cifre ponavljaju beskonačno u grupama. Ovo je moguće pokazati običnim školskim deljenjem n sa m jer samo m mogućih ostataka postoji. Ako je 0 ostatak, decimalni ispis se završava. Ako se 0 nikad ne pojavljuje tada se postupak može ponoviti najviše m − 1 puta pre nego što se ponovo isti ostaci pojave. Posle toga, ostatak se ponavlja i decimalne cifre se ponavljaju. Primer:

${\displaystyle A=0.7\,162\,162\,162\,\dots }$ 

Pošto je dužina ponavljajuće grupe cifara 3, pomnožimo sa 10³:

${\displaystyle 1000A=7\,16.2\,162\,162\,\dots }$ 

i oduzmimo A od obe strane:

${\displaystyle 999A=715.5\,.}$ 

Tada

${\displaystyle A={\frac {715.5}{999}}={\frac {7155}{9990}}={\frac {135\times 53}{135\times 74}}={\frac {53}{74}}.}$ 

(Broj 135, iz gornjeg primera, se lako nalazi upotrebom Euklidovog algoritma.)

Ne zna se da li su π + e i π − e iracionalni ili ne.

Ustvari, ne postoje prirodni brojevi m i n za koje se zna da li je mπ + ne iracionalno ili ne.

Nije poznato ni za ${\displaystyle \mathbf {2} ^{\mathbf {e} }}$ , ${\displaystyle \pi ^{\mathbf {e} }}$ , ${\displaystyle \pi ^{\sqrt {2}}}$  ili Ojler-Mašeroni gama konstantu ${\displaystyle \gamma }$  da li su iracionalni.

Skup iracionalnih brojeva nema standardnu oznaku kao što je to slučaj sa skupom prirodnih brojeva N, skupom cijelih brojeva Z, skupom racionalnih brojeva Q ili skupom realnih brojeva R.

Skup iracionalnih brojeva je neprebrojiv, dok je skup racionalnih brojeva prebrojiv a realnih brojeva neprebrojiv. Skup algebarskih iracionalnih brojeva, znači netranscendentnih, je prebrojiv.

Koristeći apsolutnu vrednost za merenje rastojanja, iracionalni brojevi čine metrički prostor koji nije kompletan. Pa ipak, ovaj metrički prostor je homeomorfan kompletnom metričkom prostoru svih nizova prirodnih brojeva; homeomorfizam je dat beskonačnim razvojem verižnih razlomaka. Ovo pokazuje da u prostoru iracionalnih brojeva važi iskaz Berove teoreme o kategoriji.

Konstanta Koupland-Erdoš

0.235711131719232931374143...

dobijena spajanjem prostih brojeva u niz jeste iracionalan broj. Zna se čak i da je normalan broj.

 

Iracionalni broj na Wikimedijinoj ostavi