Momento angular

O momento angular de uma partícula é definido pelo produto vetorial do vetor posição ${\displaystyle {\vec {r}}}$  da partícula (em relação a um ponto de referência) pelo seu momento linear ${\displaystyle {\vec {p}}}$ :^[1]

Definição de momento angular (clássica) ${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}={\vec {r}}\times m{\vec {v}}}$

O momento angular depende do ponto de referência escolhido. Se a referência for o ponto ocupado pela partícula (e a função que define o momento for contínua) então o momento angular é nulo. Há também outras condições para que o momento angular se anule. São elas:

1. a massa da partícula seja nula.
2. a velocidade da partícula seja nula.
3. a velocidade da partícula seja paralela à sua posição em relação ao ponto de referência.

Da definição, tem-se que sua magnitude é:

${\displaystyle L=rp\operatorname {sen} \alpha =mrv\operatorname {sen} \alpha =mr^{2}{\frac {d\theta }{dt}}\operatorname {sen} \alpha =mr^{2}\omega \operatorname {sen} \alpha }$ 

Nessa expressão r é o módulo do vetor posição, p é o módulo do momento linear, v é o módulo da velocidade, ${\displaystyle \omega }$  é o módulo da velocidade angular e ${\displaystyle \alpha }$  é o ângulo entre os vetores ${\displaystyle r}$  e ${\displaystyle p}$ .

O momento angular de um conjunto de partículas em relação a um ponto de referência é definido como a soma do momento angular de todas as partículas em relação a esse ponto. Assim:

${\displaystyle {\vec {L}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {l}}_{i}}$ 

Nessa expressão ${\displaystyle {\vec {l}}_{i}}$  é o momento angular da partícula i, e N é o número total de partículas.

Quando estamos tratando do momento angular total de qualquer corpo, a definição acima se transforma no limite da soma, com N tendendo a infinito:

${\displaystyle {\vec {L}}=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\vec {l}}_{i}}$ 

Para que esse limite exista, cada ${\displaystyle {\vec {l}}_{i}}$  deve tender a 0. Isso é intuitivo já que estamos considerando pedaços de matéria cada vez menores, o que implica massas e momentos angulares menores. Ou seja, o momento angular de um corpo E, é definido por:

${\displaystyle {\vec {L}}=\int _{E}d{\vec {L}}}$ 

O momento angular de um corpo girando em torno de um eixo fixo, em relação a esse eixo, pode ser calculado através do seu momento de inércia ${\displaystyle I}$  e sua velocidade angular ${\displaystyle \omega }$ , da forma a seguir:^[1]

${\displaystyle {\vec {L}}=I{\vec {\omega }}}$ 

O momento angular é útil na resolução de sistemas rotacionais, sejam eles formados por corpos rígidos ou por sistemas de partículas. Na verdade ele é útil em todos os casos em que é constante no intervalo estudado, pois pode-se demonstrar que o torque resultante sobre um sistema é igual à taxa de variação temporal, a derivada no tempo, do momento angular.

Conclui-se que sempre que o torque total for zero o momento angular manter-se-á constante. Essa situação é mais comum do que parece, pois usualmente, nos sistemas isolados, as forças que agem internamente entre os corpos geram torques que se anulam, pois tais forças são usualmente centrais (sua linha de ação passa pelo centro geométrico do corpo) o que faz com que os pares ação-reação anulem os torques.

Esse "ataque" é tão importante que com ele é possível demonstrar as leis de Kepler, se usado em conjunto com a Lei da gravitação universal. Essa demonstração foi feita pelo próprio Newton, facto que deu uma importância ainda maior à hipótese de Newton da força gravitacional ser proporcional ao inverso do quadrado da distância.

• Quantidade de movimento linear
• Impulso
• Grupo de rotação