Derivada

Duas distintas notações são comumente utilizadas para a derivada, o resultante de Leibniz e o outro a partir de Joseph Louis Lagrange. 

Na notação de Leibniz, uma mudança infinitesimal em x é denotada por dx, e a derivada de y em relação a x é escrito ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\,\!}$ .

sugerindo que a razão de duas quantidades infinitesimais (A expressão acima é lido como "a derivada de y em relação a x", "dy por dx", ou "dy sobre dx". A forma oral dydx é usado frequentemente em tom de conversa, embora possa levar à confusão).

Na notação de Lagrange, a derivada em relação a x de uma função F(x) é denotada f'(x) ou fx'(x), em caso de ambiguidade da variável implicada pela derivação. A notação de Lagrange é por vezes incorretamente atribuída a Newton. 

 

Seja ${\displaystyle I}$  um intervalo aberto não-vazio e seja ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ , ${\displaystyle y=f(x)}$ , uma função de ${\displaystyle I}$  em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Diz-se que função ${\displaystyle f(x)}$  é derivável no ponto ${\displaystyle a\in I}$  se existir o seguinte limite:^[3]

${\displaystyle f'(a)=\lim _{x\rightarrow a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}$ .

Se for esse o caso, o número real ${\displaystyle f'(a)}$  é chamado de derivada da função ${\displaystyle f}$  no ponto ${\displaystyle a}$ . Notações equivalentes são:

${\displaystyle f'(a)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a)=\left.{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=a}}$ .

Equivalentemente, escrevemos:

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$ 

o que é obtido fazendo ${\displaystyle h=x-a}$  no limite acima. Desta forma, define-se a função derivada de ${\displaystyle f(x)}$  por:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ 

para todo ${\displaystyle x}$  para o qual este limite existe.

Uma função é dita derivável (ou diferenciável) quando sua derivada existe em cada ponto do seu domínio.

Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente.

Seja f uma função real definida em uma vizinhança aberta de um número real a.  

Na geometria clássica, a linha tangente ao gráfico da função f em a foi a única linha que passou pelo ponto (a, f(a)) que não encontrou o gráfico de f transversalmente, significando que a linha não passou diretamente pelo gráfico.

O declive da secante ao gráfico de f, na imagem acima, que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ .

Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φ_a de I em R contínua em a tal que

${\displaystyle (\forall x\in I):f(x)=f(a)+\varphi _{a}(x)\cdot (x-a)}$ .

Então define-se a derivada de f em a como sendo φ_a(a).

Funções com valores em R${\displaystyle ^{n}}$ 

Se ${\displaystyle I}$  for um intervalo de ${\displaystyle \mathbb {R} }$  com mais do que um ponto e se ${\displaystyle f}$  for uma função de ${\displaystyle I}$  em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , para algum número natural ${\displaystyle n}$ , as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função

${\displaystyle {\begin{array}{rccc}f\colon &\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} ^{2}\\&x&\mapsto &(\cos(x),\operatorname {sen} (x))\end{array}}}$  (ou seja: uma função que a cada x do domínio em ${\displaystyle \mathbb {R} }$  responde com uma coordenada no contradomínio em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Esta coordenada é ${\displaystyle (\cos(x),\operatorname {sen} (x))}$ .

é derivável e

${\displaystyle (\forall x\in \mathbb {R} ):f'(x)=(-\operatorname {sen} (x),\cos(x)).}$ 

 

De fato, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, exceto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.

• Seja ${\displaystyle I}$  um intervalo de R com mais do que um ponto, seja ${\displaystyle a}$  ∈ ${\displaystyle I}$  e seja ${\displaystyle f}$  uma função de ${\displaystyle I}$  em R derivável em ${\displaystyle a}$ . Então ${\displaystyle f}$  é contínua em ${\displaystyle a}$ . O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo.
• Seja ${\displaystyle I}$  um intervalo de R com mais do que um ponto, seja ${\displaystyle a}$  ∈ ${\displaystyle I}$  e sejam ${\displaystyle f}$  e ${\displaystyle g}$  funções de ${\displaystyle I}$  em R deriváveis em ${\displaystyle a}$ . Então as funções ${\displaystyle f}$  ± ${\displaystyle g}$ , ${\displaystyle f.g}$  e (caso ${\displaystyle g(a)}$  ≠ ${\displaystyle 0}$ ) ${\displaystyle f/g}$  também são deriváveis em ${\displaystyle a}$  e:
  • ${\displaystyle (f\pm g)'(a)=f'(a)\pm g'(a)}$ 
  • ${\displaystyle (f.g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)}$ 
  • ${\displaystyle (f/g)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^{2}}}}$ 

Em particular, se ${\displaystyle c}$  ∈ R, então ${\displaystyle (c.f)'=c.f'}$ . Resulta daqui e de se ter ${\displaystyle (f+g)'=f'+g'}$  que a derivação é uma aplicação linear.

• Sejam ${\displaystyle I}$  e ${\displaystyle J}$  intervalos de R com mais do que um ponto, seja ${\displaystyle a}$  ∈ ${\displaystyle I}$ , seja ${\displaystyle f}$  uma função de ${\displaystyle I}$  em ${\displaystyle J}$  derivável em ${\displaystyle a}$  e seja seja ${\displaystyle g}$  uma função de ${\displaystyle J}$  em R derivável em ${\displaystyle f(a)}$ . Então ${\displaystyle g}$  o ${\displaystyle f}$  é derivável em ${\displaystyle a}$  e

${\displaystyle (g\circ f)'(a)=g'(f(a)).f'(a)}$ .

Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia.

• Seja ${\displaystyle I}$  um intervalo de R com mais do que um ponto, seja ${\displaystyle a}$  ∈ ${\displaystyle I}$  e seja ${\displaystyle f}$  uma função contínua de ${\displaystyle I}$  em R derivável em ${\displaystyle a}$  com derivada não nula. Então a função inversa ${\displaystyle f^{-1}}$  é derivável em ${\displaystyle f(a)}$  e

${\displaystyle (f^{-1})'(f(a))={\frac {1}{f'(a)}}\cdot }$ 

Outra maneira de formular este resultado é: se ${\displaystyle a}$  está na imagem de ${\displaystyle f}$  e se ${\displaystyle f}$  for derivável em ${\displaystyle f^{-1}(a)}$  com derivada não nula, então

${\displaystyle (f^{-1})'(a)={\frac {1}{f'{\bigl (}f^{-1}(a){\bigr )}}}\cdot }$ 

Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida por f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive 1). De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f(0)) mais perto estará este de ser linear.

 

Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura abaixo.

 

Diz-se que f é derivável ou diferenciável se o for em todos os pontos do domínio.

 

• Uma função derivável ${\displaystyle f}$  de ${\displaystyle I}$  em R é constante se e só se a derivada for igual a ${\displaystyle 0}$  em todos os pontos. Isto é uma consequência do teorema da média.
• Uma função derivável ${\displaystyle f}$  de ${\displaystyle I}$  em R é crescente se e só se a derivada for maior ou igual a ${\displaystyle 0}$  em todos os pontos. Isto também é uma consequência do teorema da média.

Uma função cuja derivada seja sempre maior que ${\displaystyle 0}$  é estritamente crescente. Uma observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor ${\displaystyle 0}$  em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R em R definida por ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ . Naturalmente, existem enunciados análogos para funções decrescentes.

• Se ${\displaystyle f}$  for uma função derivável de ${\displaystyle I}$  em R, sendo ${\displaystyle I}$  um intervalo de R com mais do que um ponto, então ${\displaystyle f'(I)}$  também é um intervalo de R. Outra maneira de formular este resultado é: se ${\displaystyle f}$  for uma função derivável de ${\displaystyle [a,b]}$  em R e se ${\displaystyle y}$  for um número real situado entre ${\displaystyle f'(a)}$  e ${\displaystyle f'(b)}$  (isto é, ${\displaystyle f'(a)}$  ≤ ${\displaystyle y}$  ≤ ${\displaystyle f'(b)}$  ou ${\displaystyle f'(a)}$  ≥ ${\displaystyle y}$  ≥ ${\displaystyle f'(b)}$ ), então existe algum ${\displaystyle c}$  ∈ ${\displaystyle [a,b]}$  tal que ${\displaystyle f'(c)=y}$ . Este resultado é conhecido por teorema de Darboux.

Seja ${\displaystyle I}$  um intervalo de R com mais do que um ponto e seja ${\displaystyle f}$  uma função de ${\displaystyle I}$  em R. Diz-se que ${\displaystyle f}$  é continuamente derivável ou de classe ${\displaystyle C^{1}}$  se ${\displaystyle f}$  for derivável e, além disso, a sua derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é

${\displaystyle {\begin{array}{rccc}f\colon &\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &{\begin{cases}x^{2}\mathop {\mathrm {sen} } ({\frac {1}{x}})&{\text{ se }}x\neq 0\\0&{\text{ se }}x=0{\text{,}}\end{cases}}\end{array}}}$ 

pois o limite ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}f'(x)}$  não existe; em particular, f' não é contínua em ${\displaystyle 0}$ .

Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a segunda derivada da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante. Podemos nos referir às derivadas subsequentes de f por:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right),\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right)\right)}$ 

e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregada é:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},\quad {\frac {\mathrm {d} ^{3}f}{\mathrm {d} x^{3}}}}$ 

ou alternativamente,

${\displaystyle f'(x),\quad f''(x),\quad f'''(x)}$ 

ou ainda

${\displaystyle f^{(1)}(x),\quad f^{(2)}(x),\quad f^{(3)}(x)}$ 

Se, para algum k ∈ N, f for k vezes derivável e, além disso, f^(k) for uma função contínua, diz-se que f é de classe C^k.

Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que f é infinitamente derivável ou indefinidamente derivável ou ainda de classe C^∞.

Se ${\displaystyle c}$  ∈ R, a função ${\displaystyle f}$  de R em R definida por ${\displaystyle f(x)=c}$  é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a ${\displaystyle 0}$  em todos os pontos, pois, para cada ${\displaystyle a}$  ∈ R:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}{\frac {c-c}{x-a}}=0}$ .

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir ${\displaystyle \phi _{a}}$  de R em R por ${\displaystyle \phi _{a}(x)=0}$ , então ${\displaystyle \phi _{a}}$  é contínua e, para cada ${\displaystyle x}$  e cada ${\displaystyle a}$  reais, tem-se

${\displaystyle c=c+0.(x-a)=c+\varphi _{a}(x).(x-a)}$ ;

além disso, ${\displaystyle f'(a)=\phi _{a}(a)=0}$ .

A função ${\displaystyle f}$  de R em R definida por ${\displaystyle f(x)=x}$  é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a ${\displaystyle 1}$  em todos os pontos, pois, para cada ${\displaystyle a}$  ∈ R:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}{\frac {x-a}{x-a}}=1}$ .

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir ${\displaystyle \phi _{a}}$  de R em R por ${\displaystyle \phi _{a}(x)=1}$ , então ${\displaystyle \phi _{a}}$  é contínua e, para cada ${\displaystyle x}$  e cada ${\displaystyle a}$  reais, tem-se

${\displaystyle x=a+1.(x-a)=a+\varphi _{a}(x).(x-a)}$ ;

além disso, ${\displaystyle f'(a)=\phi _{a}(a)=1}$ .

A função ${\displaystyle f}$  de R em R definida por ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$  é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada no ponto ${\displaystyle a}$  ∈ R é igual a ${\displaystyle 2a}$ , pois:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}{\frac {x^{2}-a^{2}}{x-a}}=\lim _{x\rightarrow a}{\frac {(x-a)(x+a)}{x-a}}=\lim _{x\rightarrow a}x+a=2a}$ .

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir ${\displaystyle \phi _{a}}$  de R em R por ${\displaystyle \phi _{a}(x)=x+a}$ , então ${\displaystyle \phi _{a}}$  é contínua e, para cada ${\displaystyle x}$  e cada ${\displaystyle a}$  reais, tem-se

${\displaystyle x^{2}=a^{2}+(x^{2}-a^{2})=a^{2}+\varphi _{a}(x).(x-a)}$ ;

além disso, ${\displaystyle f'(a)=\phi _{a}(a)=2a}$ .

A função módulo de R em R não é derivável em ${\displaystyle 0}$  pois

${\displaystyle (\forall x\in \mathbb {R} ):{\frac {|x|-|0|}{x-0}}={\begin{cases}1&{\text{ se }}x>0\\-1&{\text{ se }}x<0\end{cases}}}$ 

No entanto, é derivável em todos os outros pontos de R: a derivada em ${\displaystyle a}$  é igual a ${\displaystyle 1}$  quando ${\displaystyle a>0}$  e é igual a ${\displaystyle -1}$  quando ${\displaystyle a<0}$ .

Um ponto em que a segunda derivada de uma função muda de sinal é chamado de um ponto de inflexão. Em um ponto de inflexão, a segunda derivada pode ser zero, como no caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = x³, ou ele pode deixar de existir, como é o caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = ${\displaystyle x^{\frac {1}{3}}\,\!}$ . Em um ponto de inflexão, uma função convexa passa a ser uma função côncava, ou vice-versa.

 Ver artigo principal: Ponto crítico

Pontos onde a derivada da função é igual a ${\displaystyle 0}$  chamam-se normalmente de pontos críticos. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a reta tangente é paralela ao eixo dos ${\displaystyle x}$ . Estes pontos podem acontecer:

1. onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados máximos locais da função
2. onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos locais da função
3. em pontos de inflexão (horizontais) da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ : no ponto ${\displaystyle x=0}$  a função tem um ponto de inflexão (horizontal).
4. em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um exemplo típico é a função ${\displaystyle f(x)=x^{2}sin(1/x)}$ 
5. em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um intervalo contendo o ponto para o qual a restrição da função ao intervalo é a função constante. Um exemplo típico é a função f(x) = |x + 1| + |x - 1| no ponto x=0.

Os pontos críticos são ferramentas úteis para examinar e desenhar gráficos de funções.

 Ver artigo principal: Tabela de derivadas

A derivada de uma função pode, em princípio, ser calculado a partir da definição, considerando o quociente de diferença, e computar o seu limite. Na prática, uma vez que as derivadas de algumas funções simples são conhecidos, as derivadas de outras funções são mais facilmente calculado usando regras para a obtenção de derivadas de funções mais complicadas das mais simples.

A maioria dos cálculos de derivadas, eventualmente, exige a tomada da derivada de algumas funções comuns. A seguinte lista incompleta é de algumas das funções mais frequentemente utilizadas de uma única variável real e seus derivados. 

Alguns exemplos de derivadas notáveis são:

• A função exponencial natural y = e^x = exp(x) cuja derivada é igual a si mesma, isto é:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}.}$ 

• A função logaritmo natural y = ln(x):

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\quad x>0.}$ 

Estes dois fatos não são independentes. De fato, como o logaritmo natural é a inversa da função exponencial, resulta da igualdade ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}}$  e da fórmula para a derivada da inversa que

${\displaystyle (\forall x>0):\log '(x)=(\exp ^{-1})'(x)={\frac {1}{\exp '{\bigl (}\exp ^{-1}(x){\bigr )}}}={\frac {1}{\exp(\log(x))}}={\frac {1}{x}}\cdot }$ 

Reciprocamente, supondo-se que, para cada ${\displaystyle x>0}$ , ${\displaystyle \log '(x)=1/x}$ , então ${\displaystyle \exp '(x)=(\log ^{-1})'(x)={\frac {1}{\log '{\bigl (}\log ^{-1}(x){\bigr )}}}={\frac {1}{1/\exp(x)}}=\exp(x).}$ 

• Também são notáveis as derivadas das funções trigonométricas:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sin(x)=\cos(x).}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cos(x)=-\sin(x).}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\csc(x)=-\cot(x)\csc(x)}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cot(x)=-\csc ^{2}(x)}$ 

• E funções Funções trigonométricas inversas:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1.}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1.}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$ 

Neste último caso, as derivadas resultam das fórmulas para as derivadas das funções trigonométricas juntamente com a fórmula para a derivada da inversa e a fórmula fundamental da trigonometria.

Em muitos casos, a aplicação direta do quociente de diferença de Newton pode ser evitado usando regras de diferenciação, evitando complicados cálculos de limite.  Algumas das regras mais básicas são as seguintes:

• Regra da constante: se f(x) é constante, então:

${\displaystyle f'=0.\,}$ 

• Regra da soma:

${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'\,}$ 

para todas as funções f e g e todos os números reais ${\displaystyle \alpha }$  e ${\displaystyle \ beta}$ 

• Regra do produto:

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}$ 

para todas as funções f e g. Por conseguinte, isso significa que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\pi r^{2}=2\pi r.\,}$ 

• Regra do quociente:

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ 

para todas as funções f e g, em que g ≠ 0.

• Regra da cadeia:

Se ${\displaystyle f(x)=h(g(x)),}$ 

então:

${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).\,}$ 

A derivada de ${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,}$ 

é ${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {\mathrm {d} \left(x^{2}\right)}{\mathrm {d} x}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln {x}{\frac {\mathrm {d} \left(e^{x}\right)}{\mathrm {d} x}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$ 

As derivadas conhecidas de funções elementares ${\displaystyle x^{2},x^{4},}$  sen(x) e ${\displaystyle exp(x)=e^{x}}$ , assim como a constante 7, também foram usadas. 

Se A for um conjunto de números complexos, se f for uma função de A em C e se a for um ponto não isolado de A (isto é, se tão perto quanto se queira de a houver outros elementos de A), então as duas definições da derivada de f no ponto a continuam a fazer sentido. De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, mais uma vez, as que dizem respeito à monotonia de funções.

Uma das mais importantes aplicações da Análise à Física (senão a mais importante), é o conceito de derivada temporal — a taxa de mudança ao longo do tempo — que é necessária para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as derivadas temporais da posição s de um objecto são importantes na física newtoniana:

• Velocidade (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior à Análise) v é a derivada (com respeito ao tempo) da posição do objeto.
• Aceleração a é a derivada (com respeito ao tempo) da velocidade de um objecto.

Posto de outro modo:

${\displaystyle {\begin{aligned}v(t)&={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\\a(t)&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\end{aligned}}}$ 

Por exemplo, se a posição de um objecto é s(t) = −16t² + 16t + 32, então a velocidade do objecto é s′(t) = −32t + 16 e a aceleração do objecto é s′′(t) = −32. Uma forma de enunciar a segunda lei de Newton é F = dp/dt , sendo p o momento linear do objecto.

Em dimensão 1, as derivadas são pensadas como números pois, nesta dimensão, um número e uma transformação linear são a mesma coisa. Entretanto, para dimensões maiores, as derivadas necessitam ser tratadas como transformações lineares.^[4]

Uma função vetorial y(t) de uma variável real de uma variável real envia números reais de vetores em ${\displaystyle R^{n}}$  algum espaço vetorial. A função vetorial pode ser dividido em suas funções coordenadas y1(t), y2(t),...,yn(t), significando que y(t) = (${\displaystyle y_{1}}$  (t), ..., ${\displaystyle y_{n}}$  (t)). Isto inclui, por exemplo, curvas paramétricas em R² ou R³.

As funções de coordenadas são funções de valores reais, de modo que a definição acima de derivada aplica-se a eles. A derivada de y (t) é definida como sendo o vetor, chamado o vetor tangente, cujas coordenadas são as derivadas das funções de coordenadas. Isto é,  

${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=(y'_{1}(t),\ldots ,y'_{n}(t)).}$ 

equivalentemente, 

${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}$  se o limite existe.

A subtração no numerador é a subtração de vetores, não escalares. Se a derivada de y existe para cada valor de t, então y' é outra função vetorial. 

Se ${\displaystyle e_{1}}$ , ..., ${\displaystyle e_{n}}$  é a base padrão para ${\displaystyle R^{n}}$ , então y (t) também pode ser escrito como ${\displaystyle y_{1}}$ (t)${\displaystyle e_{1}}$  + ... + ${\displaystyle y_{n}}$ (t)${\displaystyle e_{n}}$ . Se assumirmos que a derivada de uma função vetorial mantém a propriedade da linearidade, então a derivada de y (t) deve ser

${\displaystyle y'_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+\cdots +y'_{n}(t)\mathbf {e} _{n}}$ 

porque cada um dos vetores de base é uma constante. 

Esta generalização é útil, por exemplo, se y (t) é o vetor de posição de uma partícula no tempo t; em seguida, o derivado y '(t) é o vetor de velocidade da partícula no tempo t. 

 Ver artigo principal: Derivada parcial

Quando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de derivada parcial. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma função para uma determinada variável, enquanto as outras se mantêm fixadas. No gráfico, é usada para determinar a variação da função em um determinado eixo. Derivadas parciais são representadas como, por exemplo, ∂z/∂x, sendo x a variável fixada sobre uma função em z.

Suponha que f é uma função que depende mais de uma variável, por exemplo, 

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}$ 

f pode ser reinterpretado como uma família de funções de uma variável indexada pelas outras variáveis: 

${\displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}$ 

Em outras palavras, cada valor de x escolhe uma função,  denotando ${\displaystyle f_{x}}$ , que é uma função de um número real.  Ou seja, 

${\displaystyle x\mapsto f_{x},\,}$ 

${\displaystyle f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}$ 

Uma vez que um valor de x é escolhido,  digamos a, então f(x,y) determina a função ${\displaystyle f_{a}}$  que envia y a a2+ay+y2: 

${\displaystyle f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.\,}$ 

Nesta expressão, a é uma constante, e não uma variável, de modo que ${\displaystyle f_{a}}$  é uma função de uma única variável real. Consequentemente, a definição da derivada para uma função de uma variável aplica-se: 

${\displaystyle f_{a}'(y)=a+2y.\,}$ 

O procedimento acima pode ser realizada por qualquer escolha de a. Montando as derivadas juntas em uma função, dá uma função que descreve a variação de f na direção y: 

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.}$ 

Esta é a derivada parcial de f em relação a y. Aqui, ∂ é o símbolo derivada parcial. 

Em geral, a derivada parcial de uma função f (${\displaystyle x_{1}}$ , ..., ${\displaystyle x_{n}}$ ) na direção de ${\displaystyle x_{i}}$ , no ponto (${\displaystyle a_{1}}$  ..., ${\displaystyle a_{n}}$ ) é definido como sendo:  

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.}$  

Na diferença de quociente acima, todas as variáveis, exceto ${\displaystyle x_{i}}$ , são mantidos fixos. Essa escolha de valores fixos determina uma função de uma variável. 

{${\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),}$ 

e por definição, 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).}$ 

Em outras palavras, as diferentes opções de classificar uma família de funções de uma variável tal como no exemplo acima. Esta expressão também mostra que o cálculo das derivadas parciais reduz para o cálculo dos derivados de uma variável. 

Um exemplo importante de uma função de várias variáveis é o caso de uma função de valor escalar f (${\displaystyle x_{1}}$ , ..., ${\displaystyle x_{n}}$ ) em um domínio no espaço Euclidiano ${\displaystyle R^{n}}$  (por exemplo, em R² ou R²). Neste caso, f tem uma derivada parcial ∂f / ∂xj em relação a cada variável ${\displaystyle x_{j}}$ . No ponto a, estas derivadas parciais definem o vetor 

${\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).}$ 

Este vetor é denominado gradiente de f em a. Se f é diferenciável em todos os pontos em algum domínio, então o gradiente é uma função vetorial ∇f  que leva o ponto a para o vetor ∇f(a). 

Consequentemente, o gradiente determina um campo vetorial.

Se f é uma função com valores reais em ${\displaystyle R^{n}}$ , então a derivada parcial de f mede a sua variação na direção dos eixos das coordenadas. Por exemplo, se f é uma função de x e y, então sua derivada parcial mede a variação em f na direção x e na direção y. Contudo, elas (derivadas parciais) não medem diretamente a variação de f em qualquer outra direção, tal como aquela ao longo da linha diagonal y=x. Estas são medidas usando-se as derivadas direcionais. Escolha um vetor: 

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).}$ 

A derivada direcional de f na direção de v no ponto x é o limite  

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$ 

Em alguns casos pode ser mais fácil computar ou estimar a derivada direcional depois de mudar o comprimento do vetor. Frequentemente isso é feito para transformar o problema numa computação de uma derivada direcional na direção de um vetor unitário. Para ver como isso funciona, suponha v = λu. Substitua h = k/λ no quociente da diferença. 

O quociente da diferença torna-se: 

${\displaystyle {\frac {f(\mathbf {x} +(k/\lambda )(\lambda \mathbf {u} ))-f(\mathbf {x} )}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f(\mathbf {x} +k\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{k}}.}$ 

Isso é λ vezes o quociente da diferença para a derivada direcional de f  no que diz respeito a u. Além disso, tomar o limite como h tendendo a zero é o mesmo que tomar o limite como k tendendo a zero, pois h e k são múltiplos um do outro. 

Portanto, Dv(f) = λDu(f). Devido a essa propriedade de redirecionamento, derivadas direcionais são frequentemente consideradas apenas para vetores unitários.    

Se todas as derivadas parciais de f existem e são contínuas em x, então elas determinam a derivada direcional de f na direção de v  pela fórmula: 

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}$  

Essa é a consequência da definição de derivada total. Diz-se que a derivada direcional é linear em v, significando que D${\displaystyle _{V}}$  + ${\displaystyle _{W}}$ (f) = D${\displaystyle _{V}}$ (f) + D${\displaystyle _{W}}$ (f).  

A mesma definição também é aplicável quando f é a função com valores em ${\displaystyle R^{m}}$ . . A definição acima é aplicada a cada componente dos vetores. Nesse caso, a derivada direcional é um vetor em ${\displaystyle R^{m}}$ .

Sejam ${\displaystyle U}$  um aberto de ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{m}}$ , ${\displaystyle z_{0}\in U}$  e ${\displaystyle f:U\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}$  uma função. Dizemos que ${\displaystyle f}$  é diferenciável quando existem uma transformação linear ${\displaystyle T:{\mathbb {R} }^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}$  e uma função ${\displaystyle r:\{z-z_{0}:z\in U\}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}$  dada por ${\displaystyle r(h)=f(z_{0}+h)-f(z_{0})-T.h}$  tais que

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {r(h)}{|h|}}=0}$ .

Neste caso, a aplicação ${\displaystyle T}$  é chamada de derivada da função ${\displaystyle f}$  no ponto ${\displaystyle z_{0}}$  e denotada por ${\displaystyle Df(z_{0})}$ . Em outras palavras

${\displaystyle Df(z_{0})=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f(x+tz_{0})-f(x)}{t}}.}$ 

1. Se ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ , ${\displaystyle z_{0}\in U}$  e ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$ , então $${\displaystyle Df(z_{0})h=h.f'(z_{0}).}$$ 
2. Se ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}$ , ${\displaystyle z_{0}\in U}$  e ${\displaystyle h\in \mathbb {R} ,}$  então $${\displaystyle Df(z_{0})h=h.(f_{1}'(z_{0}),f_{2}'(z_{0}),...,f_{n}'(z_{0})).}$$ 
3. Se ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }}$ , ${\displaystyle z_{0}\in U}$  e ${\displaystyle h=(h_{1},\cdots ,h_{m})\in \mathbb {R} ^{m},}$  então $${\displaystyle Df(z_{0})h=h_{1}.{\partial f \over \partial x_{1}}(z_{0})+\cdots +h_{m}.{\partial f \over \partial x_{m}}(z_{0})}$$ 
4. Se ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}$ , ${\displaystyle z_{0}\in U}$  e ${\displaystyle h\in \mathbb {R} ^{n},}$  então $${\displaystyle Df(z_{0})h=(h.\nabla f_{1}(z_{0}),\cdots ,h.\nabla f_{n}(z_{0}))}$$ 

Nesta definição, podemos considerar a derivada parcial de uma aplicação como sendo

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(x)=Df(x)e_{j}.}$ 

Podemos repensar nessa igualdade. Se observarmos que ${\displaystyle e_{j}x}$  corresponde à ${\displaystyle j}$ -ésima coordenada de ${\displaystyle x}$  e que a ${\displaystyle j}$ -ésima coordenada de ${\displaystyle \nabla f(z_{0})}$  é ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(z_{0})}$  segue que $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(z_{0})=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{j}}}(z_{0}),\cdots ,{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{j}}}(z_{0})\right)}$$