Norma (matemática)

Dado um espaço vetorial ${\displaystyle X}$  sobre o corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$  dos números reais ou complexos, uma função ${\displaystyle \|\cdot \|:X\to \mathbb {R} ^{+}}$  é chamada de norma se, para quaisquer ${\displaystyle x,y\in X}$  e todo ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} :}$  ^[1]

• ${\displaystyle \|x\|=0\Leftrightarrow x=0_{_{X}}.}$  Se esta condição não for atendida, a função será no máximo uma seminorma.
• ${\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|}$ 
• ${\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|}$  (desigualdade triangular)

Se o espaço vetorial ${\displaystyle X}$  tem uma norma, ele passa a ser chamado de espaço normado, e denotado por ${\displaystyle \left(X,\|\cdot \|\right).}$ 

Toda norma induz de forma natural uma métrica ${\displaystyle d}$  em ${\displaystyle X}$  cujos valores são dados por:^[2] $${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|\,.}$$ 

Também induz uma topologia localmente convexa que é gerada por todas as bolas:

$${\displaystyle B(x_{0},r)=\{x\in X:d(x,x_{0})<r\},~~\forall \,x\in X,\forall \,r\in \mathbb {R_{+}} }$$ 

Duas normas ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$  e ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$  sobre o mesmo espaço vetorial ${\displaystyle X}$  são ditas equivalentes se existirem constantes reais positivas ${\displaystyle C_{1}}$  e ${\displaystyle C_{2}\,(C_{1}\leqslant C_{2})}$  tais que: $${\displaystyle C_{1}\|x\|_{1}\leqslant \|x\|_{2}\leqslant C_{2}\|x\|_{1}~~\forall \,x\in X}$$ 

Quando duas normas são equivalentes, elas induzem a mesma topologia.

Seja ${\displaystyle x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}$  a representação de um vetor em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  ou ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ 

As normas canônicas definidas nestes espaços são as chamadas normas ${\displaystyle \ell ^{p}}$ :

• ${\displaystyle \|x\|_{p}={\Big (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\Big )}^{\frac {1}{p}}~~,1\leqslant p<\infty }$ 
• ${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max _{i\in \{1,\ldots ,n\}}|x_{i}|}$ 

O caso particular em que ${\displaystyle p=2}$  corresponde à norma euclidiana: $${\displaystyle \|x\|_{2}={\Big (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}{\Big )}^{\frac {1}{2}}}$$ 

Outras normas podem ainda ser definidas, no entanto, pode-se demonstrar que todas elas serão equivalentes.

 Ver artigo principal: Norma matricial

Se o espaço vetorial considerado é aquele formado pelas matrizes reais ou complexas de ordem ${\displaystyle n\times m,}$  denotado por ${\displaystyle M^{n\times m},}$  uma norma sobre esse espaço é chamada de norma matricial. Um exemplo de norma matricial é a norma 1, denotada ${\displaystyle \|.\|_{1}}$  definida como o máximo da soma módulo das entradas de cada linha, ou seja se ${\displaystyle A=\left[a_{ij}\right]_{r\times s}}$  então a norma 1 da matriz ${\displaystyle A}$  é o número não negativo dado por^[3] $${\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{i\leqslant r}\sum _{j=1}^{s}|a_{ij}|.}$$ 

A norma 1 da matriz ${\displaystyle A={\begin{vmatrix}1&3\\2&-1\end{vmatrix}},}$  por exemplo, é^[4] $${\displaystyle \|A\|_{1}=\max \left\{|1|+|3|,|2|+|-1|\right\}=\max \left\{4,3\right\}=4.}$$ 

 Ver artigo principal: Espaço Lp

As normas ${\displaystyle \ell ^{p}}$  têm análogos em alguns espaços de dimensão infinita.

 Ver artigo principal: Produto interno

Se um espaço vetorial possui um produto interno, este pode definir uma norma, dada pelo produto interno do vetor com ele mesmo.^[5] $${\displaystyle \left\|v\right\|:={\sqrt {\langle v,v\rangle }}}$$ 

Se uma norma provém de um produto interno, ela satisfaz a identidade do paralelogramo.^[6]

• SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010. Página 60.
• Boldrini, José Luiz et. al. Álgebra Linear 3ª ed. [S.l.]: Harbra. p. 342 
• Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada 

• Produto interno
• Espaço de Banach
• Espaço euclidiano
• Espaço métrico
• Espaço vetorial topológico
• Funcional de Minkowski
• Semi-norma