Matriz congruente

Em matemática, matriz congruente é uma relação de equivalência no conjuntos das matrizes reais quadradas. Duas matriz ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ são congruentes, se existe uma matriz invertível ${\displaystyle P}$, do mesmo tipo, tal que ${\displaystyle A=P^{T}BP}$.^[1][2]

Uma matriz real quadrada ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ é congruente à matriz real quadrada ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle B}$ quando existe uma matriz ${\displaystyle P}$ invertível tal que ${\displaystyle A=P^{T}BP}$.^[1][2]

Observamos que esta definição exige que ${\displaystyle P}$ seja uma matriz quadrada de mesma ordem de ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$.

A relação de congruência define uma relação de equivalência no conjunto das matrizes reais quadradas ${\displaystyle \mathbb {M} _{n}}$, i.e.:^[1]

1. (reflexividade) toda matriz ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}}$ é congruente a si mesma;
2. (simetria) se ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}}$ é congruente a ${\displaystyle B\in \mathbb {M} _{n}}$, então ${\displaystyle B}$ é congruente a ${\displaystyle A}$;
3. (transitividade) se ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}}$ é congruente a ${\displaystyle B\in \mathbb {M} _{n}}$ e ${\displaystyle B}$ é congruente a ${\displaystyle C\in \mathbb {M} _{n}}$, então ${\displaystyle A}$ é congruente a ${\displaystyle C}$.

Da relação de simetria, vemos que está bem definido dizer que duas matrizes são congruentes (como exposto na introdução).

Demonstração

1. Basta observar que ${\displaystyle A=I_{n}^{T}AI_{n}}$, onde ${\displaystyle I_{n}}$ é a matriz identidade em ${\displaystyle \mathbb {M} _{n}}$.
2. Se ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}}$ é congruente a ${\displaystyle B\in \mathbb {M} _{n}}$, então, por definição, existe ${\displaystyle P\in \mathbb {M} _{n}}$ invertível tal que ${\displaystyle A=P^{T}BP}$. Escolhendo ${\displaystyle Q=P^{-1}}$, vemos que ${\displaystyle B=Q^{T}AQ}$, i.e. ${\displaystyle B}$ é congruente a ${\displaystyle A}$.
3. Se ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}}$ é congruente a ${\displaystyle B\in \mathbb {M} _{n}}$ e ${\displaystyle B}$ é congruente a ${\displaystyle C\in \mathbb {M} _{n}}$, então existem ${\displaystyle P,Q\in \mathbb {M} _{n}}$ tais que ${\displaystyle A=P^{T}BP}$ e ${\displaystyle B=Q^{T}CQ}$. Mas, então, temos ${\displaystyle A=P^{T}(Q^{T}CQ)P=(QP)^{T}C(QP)}$, i.e. ${\displaystyle A}$ é congruente a ${\displaystyle C}$.

Seja ${\displaystyle f:V\times V\to \mathbb {R} }$ uma forma bilinear, onde ${\displaystyle V}$ é um espaço euclidiano de dimensão finita ${\displaystyle n}$. Seja, ainda, ${\displaystyle B_{u}=\{\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\}}$ e ${\displaystyle B_{v}=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$ duas bases para ${\displaystyle V}$. Então, são congruentes as matrizes ${\displaystyle A=[f(\mathbf {u} _{i},\mathbf {u} _{j})]_{i,j=1}^{n,n}}$ e ${\displaystyle B=[f(\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j})]_{i,j=1}^{n,n}}$ da forma bilinear nas bases ${\displaystyle B_{u}}$ e ${\displaystyle B_{v}}$, respectivamente.^[1]

Demonstração

Sejam ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$ e suas representações nas bases ${\displaystyle B_{u}}$ e ${\displaystyle B_{v}}$:

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\mathbf {u} _{i}=\sum _{i=1}^{n}c'_{i}\mathbf {v} _{i}}$

${\displaystyle {\text{e}}\quad \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}d_{i}\mathbf {u} _{i}=\sum _{i=1}^{n}d'_{i}\mathbf {v} _{i}}$.

Seja, agora, ${\displaystyle P}$ a matriz de mudança da base ${\displaystyle B_{v}}$ para a base ${\displaystyle B_{u}}$, i.e.:

${\displaystyle \mathbf {c} =P\mathbf {c} '\quad {\text{e}}\quad \mathbf {d} =P\mathbf {d} '\quad }$

onde, ${\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n})}$ e notação análoga para ${\displaystyle \mathbf {c} '}$, ${\displaystyle \mathbf {d} }$ e ${\displaystyle \mathbf {d} '}$.

Além disso, temos:

${\displaystyle f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=f\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}\mathbf {u} _{i},\sum _{j=1}^{n}d_{j}\mathbf {u} _{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}c_{i}f(\mathbf {u} _{i},\mathbf {u} _{j})d_{i}}$

e

${\displaystyle f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=f\left(\sum _{i=1}^{n}c'_{i}\mathbf {v} _{i},\sum _{j=1}^{n}d'_{j}\mathbf {v} _{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}c'_{i}f(\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j})d'i}$

donde, ${\displaystyle \mathbf {c} ^{T}A\mathbf {d} ={\mathbf {c} '}^{T}B\mathbf {d} '}$. O que, por sua vez, implica:

${\displaystyle {\mathbf {c} '}^{T}(P^{T}AP)\mathbf {d} '={\mathbf {c} '}^{T}B\mathbf {d} '}$.

Como os vetores ${\displaystyle \mathbf {u} }$ e ${\displaystyle \mathbf {v} }$ são arbitrários, temos ${\displaystyle B=P^{T}AP}$, i.e., ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ são matrizes congruentes. Isso completa a prova.

Se a matriz ${\displaystyle A}$ é ortogonalmente diagonalizável, então exite uma matriz diagonal ${\displaystyle D}$ congruente a ${\displaystyle A}$.^[3]

Demonstração

Com efeito, uma matriz ${\displaystyle A}$ é ortogonalmente diagonalizável se, e somente se, existe uma matriz diagonal ${\displaystyle D}$ tal que:

${\displaystyle D=P^{-1}AP}$

onde, ${\displaystyle P}$ é uma matriz ortogonal, i.e. ${\displaystyle P^{-1}=P^{T}}$. Isto é dizer, ${\displaystyle D=P^{T}AP}$, o que conclui a demonstração.

• Matriz semelhante
• Matriz diagonalizável