Matriz alternante

Em álgebra linear, uma matriz alternante, é uma matriz com uma estrutura particular, na qual as colunas sucessivas têm uma função particular aplicada às suas entradas. Um determinante alternante é o determinante de uma matriz alternante. Essa matriz de tamanho m × n matriz pode ser escrita assim:

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}f_{1}(\alpha _{1})&f_{2}(\alpha _{1})&\dots &f_{n}(\alpha _{1})\\f_{1}(\alpha _{2})&f_{2}(\alpha _{2})&\dots &f_{n}(\alpha _{2})\\f_{1}(\alpha _{3})&f_{2}(\alpha _{3})&\dots &f_{n}(\alpha _{3})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(\alpha _{m})&f_{2}(\alpha _{m})&\dots &f_{n}(\alpha _{m})\\\end{bmatrix}}}$

ou de forma mais sucinta

${\displaystyle M_{i,j}=f_{j}(\alpha _{i})}$

para todos os índices i e j. (Alguns autores utilizam a transposta da matriz acima)

Exemplos de matrizes alternantes incluem matrizes de Vandermonde, para as quais ${\displaystyle f_{i}(\alpha )=\alpha ^{i-1}}$ e matrizes de Moore para as quais ${\displaystyle f_{i}(\alpha )=\alpha ^{q^{i-1}}}$.

Se ${\displaystyle n=m}$ e as ${\displaystyle f_{j}(x)}$ funções são todas polynomials, temos alguns resultados adicionais: Se ${\displaystyle \alpha _{i}=\alpha _{j}}$ para qualquer ${\displaystyle i<j}$ então o determinante de qualquer matriz alternante é zero (como uma fileira é então repetida), portanto ${\displaystyle (\alpha _{j}-\alpha _{i})}$ divide o determinante por todos ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$. Dessa forma, se tomarmos

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{n}&\dots &\alpha _{n}^{n-1}\\\end{bmatrix}}}$

(Uma matriz de Vandermonde então ${\displaystyle \prod _{i<j}(\alpha _{j}-\alpha _{i})=\det V}$ divide tais alternantes determinantes polinomiais. A razão ${\displaystyle {\frac {\det M}{\det V}}}$ é chamada uma bialternante. No caso em que cada função ${\displaystyle f_{j}(x)=x^{m_{j}}}$, isto constitui a definição clássica de polinômio de Schur^{[nota 1]}

Matrizes alternantes são utilizados em teoria da codificação na construção de códigos alternante.

Notas

1. ↑ Polinômios de Schur, em homenagem a Issai Schur, são certos polinómios simétricos em variáveis n, indexadas por partições, que generalizam os polinômios simétricos elementares e os completos polinômio homogêneos simétricos.

Referências

• Thomas Muir (1960). A treatise on the theory of determinants. [S.l.]: Dover Publications. pp. 321–363 
• A. C. Aitken (1956). Determinants and Matrices. [S.l.]: Oliver and Boyd Ltd. pp. 111–123 
• Richard P. Stanley (1999). Enumerative Combinatorics. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 334–342 

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