Szimmetrikus reláció

Egy homogén kétváltozós relációt akkor nevezünk szimmetrikusnak, hogyha bármely két elem, amely adott sorrendben relációban áll, a fordított sorrendben is relációban áll, vagyis a reláció „kölcsönösen” („oda-vissza”) fennáll két elem közt. A precíz definíciót ld. lentebb.

Ilyen például

• a testvéri (általánosabban, a rokonsági) viszony az emberek között: ha A testvére (rokona) B-nek, akkor B is A-nak.
• az egyenesek párhuzamossága (mert ha az a egyenes párhuzamos b-vel, akkor b is az a-val);
• az egyenesek merőlegessége (mert ha az a egyenes merőleges b-re, akkor b is az a-ra).

Nem ilyen

• a természetes vagy az egész számok között az oszthatóság (például, 2 osztója 6-nak, de fordítva nem igaz);
• a halmazok között (egy halmaz részhalmazai halmazában) a tartalmazási reláció (például, {1,2} részhalmaza {1,2,3}-nak, de fordítva nem igaz);
• a halmazok között (egy halmaz részhalmazai halmazában) a valódi részhalmaz reláció (mert egyetlen halmaz se valódi részhalmaza önmagának).

Az A halmazon értelmezett ρ⊆A×A reláció szimmetrikus, ha teljesül bármely a,b∈A esetére az, hogy ha érvényes aρb, akkor érvényes bρa is.

Másképp szólva, ha az A×A-n értelmezett reláció inverzét a ρ⁻¹ jellel jelölve, ρ⁻¹⊆ρ

Formulákkal:

Érvényes a következő tétel is : ha egy ρ⊆A×B reláció olyan, hogy rá igaz ρ⁻¹⊆ρ; akkor igaz rá ρ⁻¹ = ρ is.

Ugyanis legyen ρ ilyen, azaz ρ⁻¹⊆ρ. Ekkor ha (x,y)∈ρ, azaz (y,x)∈ρ⁻¹, az előző (aláhúzott) tartalmazási relációt figyelembe véve, (y,x)∈ρ is teljesül, ami viszont az inverz reláció definíciója alapján azt jelenti, (x,y)∈ρ⁻¹. Tehát ha (x,y)∈ρ, akkor egyben (x,y)∈ρ⁻¹ is teljesül, ami azt jelenti, ρ⊆ρ⁻¹. Összevetve ezt az aláhúzott tartalmazási relációval, utóbbi antiszimmetriája alapján adódik ρ = ρ⁻¹.

E tétel következménye, hogy a ρ homogén kétváltozós reláció szimmetrikus pontosan akkor, ha ρ = ρ⁻¹. Tehát így is lehetne definiálni.

Megjegyzés: ha a szimmetrikus relációt inhomogén esetre definiálnánk, az előző tétel miatt ebből következne, hogy maga a reláció mégis csak homogén, hisz ha ρ⊆A×B -re (ahol A a reláció értelmezési tartománya, B az értékkészlete) és ρ⁻¹⊆B×A-ra ρ = ρ⁻¹, akkor A = B.

• halmazokon (tetszőleges halmaz hatványhalmazán) az ekvivalencia
• természetes számokon az azonos paritás, vagy általánosabban az azonos maradékosztályba tartozás (kongruencia)
• egy sík vagy a tér egyenesein a párhuzamosság
• a tér síkjain a párhuzamosság
• logikai formulák halmazán a logikai ekvivalencia

• aszimmetrikus reláció
• antiszimmetrikus reláció

• Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik