Relación simétrica

Unha relación simétrica é un tipo de relación binaria. Formalmente, unha relación binaria R sobre un conxunto X é simétrica se: ^[1]

${\displaystyle \forall a,b\in X(aRb\Leftrightarrow bRa),}$

aquí a notación aRb significa que (a, b) ∈ R .

Relacións binarias transitivas v c e
Simétrica Antisimétrica Conexa Ben fundada Ten joins Ten meets Reflexiva Irreflexiva Asimétrica Relación de equivalencia  Si  Non  Non  Non  Non  Non  Si  Non  Non Preorde (Cuasiorde)  Non  Non  Non  Non  Non  Non  Si  Non  Non Orde parcial  Non  Si  Non  Non  Non  Non  Si  Non  Non Preorde total  Non  Non  Si  Non  Non  Non  Si  Non  Non Orde total  Non  Si  Si  Non  Non  Non  Si  Non  Non Pre-Ben ordenada  Non  Non  Si  Si  Non  Non  Si  Non  Non Cuasi-Ben ordenada  Non  Non  Non  Si  Non  Non  Si  Non  Non Ben ordenada  Non  Si  Si  Si  Non  Non  Si  Non  Non Retícula  Non  Si  Non  Non  Si  Si  Si  Non  Non Semiretícula superior (join)  Non  Si  Non  Non  Si  Non  Si  Non  Non Semiretícula inferior (meet)  Non  Si  Non  Non  Non  Si  Si  Non  Non Orde estrita parcial  Non  Si  Non  Non  Non  Non  Non  Si  Si Orde estrita feble  Non  Si  Non  Non  Non  Non  Non  Si  Si Orde estrita total  Non  Si  Si  Non  Non  Non  Non  Si  Si Simétrica Antisimétrica Conexa Ben fundada Ten joins Ten meets Reflexiva Irreflexiva Asimétrica Definicións, para todo ${\displaystyle a,b}$ e ${\displaystyle S\neq \varnothing :}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ e }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ ou }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{existe}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{existe}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{existe}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{non }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{non }}bRa\end{aligned}}}$
Si indica que a columna da propiedade é sempre verdadeira no termo da fila (na esquerda de todo), mentres que  Non indica que a propiedade non está garantida en xeral (pode cumprirse ou non). Por exemplo, toda relación de equivalencia é simétrica, mais non necesariamente antisimétrica, está indicada por  Si na columna "Simétrica" e  Non na columna "Antisimétrica". Todas as definicións requiren tacitamente que a relación homoxénea ${\displaystyle R}$ sexa transitiva: para todo ${\displaystyle a,b,c,}$ se ${\displaystyle aRb}$ e ${\displaystyle bRc}$ entón ${\displaystyle aRc.}$ Algunha definición dalgún termo pode requerir propiedades adicionais non recollidas na táboa.

A simetría, xunto coas relacións de reflexividade e a de transitividade, son as tres propiedades que definen unha relación de equivalencia.^[1]

• "é igual a" (igualdade) (mentres que "é menor que" non é simétrica)
• "é comparable a", para elementos dun conxunto parcialmente ordenado
• "x e y son impares":

• "está casado con"
• "é un irmán totalmente biolóxico de"
• "é un compañeiro de traballo"

Asimétrica. Cando unha relación é o oposto a unha simétrica, é dicir, cando se dá que se un elemento está relacionado con outro mediante R, entón ese outro non está relacionado co primeiro, entón se di que é asimétrica, o que denotamos formalmente por:

${\displaystyle \forall x,y\in A:\quad xRy\quad \Rightarrow \quad \neg (yRx)}$

Neste caso, dise que R cumpre coa propiedade de asimetría.

Antisimétrica. Unha relación binaria ${\displaystyle R}$ sobre un conxunto ${\displaystyle A}$ é antisimétrica cando se dá que se dous elementos de ${\displaystyle A}$ relaciónanse entre si mediante ${\displaystyle R}$, entón estes elementos son iguais.

É dicir,

${\displaystyle \forall a,b\in A\;:\quad aRb\quad \land \quad bRa\quad \Rightarrow \quad a=b}$

Nese caso, dise que ${\displaystyle R}$ cumpre coa propiedade de antisimetría.

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Relación simétrica

• Relación reflexiva.
• Relación transitiva.
• Relación binaria.