Simetria-erlazio

Matematikan, ${\displaystyle A}$ multzoan definitutako ${\displaystyle R}$ erlazio bitarra simetrikoa da; bi elementu desberdin hartuta, lehena bigarrenarekin erlazionatuta badago, orduan bigarrena ere lehenarekin erlazionatuta badago. Beste hitzetan:

${\displaystyle \forall x,y\in A,\ xRy\Rightarrow yRx}$

Hori gertatzekotan, esaten dugu ${\displaystyle R}$-k simetria-propietatea betetzen duela.

${\displaystyle A}$ multzoan ezarritako ${\displaystyle R}$ erlazioa, ${\displaystyle (A,R)}$ bikote ordenatuaren bidez adierazten da.

Simetrikoaren aurkakoa den erlazioari asimetrikoa dela esaten zaio, hots, bi elementu desberdin hartuta, lehena bigarrenarekin erlazionatuta badago, orduan bigarrena ez badago lehenarekin erlazionatuta. Beste hitzetan:

${\displaystyle \forall x,y\in A,\ xRy\Rightarrow \neg (yRx)}$

Hori gertatzekotan, esaten dugu ${\displaystyle R}$-k asimetria-propietatea betetzen duela.

Biz ${\displaystyle A}$ multzoan definitutako ${\displaystyle R}$ simetria- edo asimetria-erlazio bat, orduan ${\displaystyle R}$-ren adierazpidea desberdina da, erlazio bitarra adierazteko moduaren arabera.

Notazioa	Simetria-erlazioa	Asimetria-erlazioa
Bikote ordenatu bezala	${\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\in R}$	${\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\not \in R}$
Auzokidetasun-matrize bezala	${\displaystyle M\,}$, matrize iraulia ${\displaystyle M^{t}=M\,.}$	${\displaystyle M\,}$, matrize horren diagonalean 0-ak besterik ez daude, hots, ${\displaystyle \forall i=\{1,...,n\},\;(a_{i,i})_{n\times n}=0,}$ eta gainera ${\displaystyle M+M^{t}\,}$-k matrize simetriko bat sortzen du.
Grafo bezala	Grafo ez zuzendua bezala adieraz daitekeen grafo bat da.	Grafo zuzendua da, begiztarik ezta ziklorik gabe.

Biz ${\displaystyle A}$ edozein multzo:

• Biz ${\displaystyle (A,=)\,}$, ${\displaystyle =\,}$ (matematika-berdintasuna), simetrikoa da.
• Biz ${\displaystyle (A,\cup )}$, ${\displaystyle \cup }$ simetrikoa da.
• "ezkondua izatea" simetria-erlazioa da, "garaiagoa izatea", aldiz, ez.
• Biz ${\displaystyle (A,>)\,}$, ${\displaystyle >\,}$ ("hertsiki handiagoa") asimetrikoa da, era berean ${\displaystyle <\,}$ ("hertsiki txikiagoa").
• Biz ${\displaystyle (A,\subset )}$, ${\displaystyle \subset }$ (multzoen partekotasun hertsia), asimetrikoa da.

Simetria ez da antisimetriaren aurkakoa.

Badaude erlazioak aldi berean simetrikoak eta antisimetrikoak direnak (berdintasuna bezala), beste batzuk simetrikoak eta antisimetrikoak ez direnak (zatigarritasuna bezala zenbaki osoetan), beste batzuk simetrikoak direnak baina ez antisimetrikoak (n moduluko kongruentzia-erlazioa bezala), eta beste batzuk antisimetrikoak direnak baina ez simetrikoak ("txikiago" erlazioa bezala).