Hookeren elastikotasun legea

Hookeren elastikotasun legea edo Hookeren legea, fisikan, gorputz elastiko bat deformazioaren eta deformatu beharreko indarraren arteko harremana zehazten duen legea da. Jatorrizko adierazpenean, gorputz elastikoaren luzerako deformazioa eta jasaten ari den tentsio indarra zuzenki proportzionalak direla zehazten du.

${\displaystyle \epsilon ={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {F}{A\ E}}}$

Non ${\displaystyle \Delta L}$ hedapena den, ${\displaystyle L}$ jatorrizko luzera, ${\displaystyle E}$ Young-en modulua, ${\displaystyle A}$ deformatutako piezaren zeharkako sekzioa eta ${\displaystyle F}$ jasan duen indarra. Lege hau aplikagarria da gorputzak jokaera elastikoa duen artean, hots, elastikotasun muga gainditzen ez baldin badu.

Legea diziplina ugaritan erabiltzen da, bereziki ingeniaritzan, eraikuntzan eta materialen zientzian baliatzen da.

Hookeren legea materiaren portaera deskribatzeko lehen mailako hurbilketa lineala baino ez da. Indarrek mugaren bat gainditzen dutenean huts egiten du, izan ere, edozein gorputz ezin da konprimitu gutxieneko tamaina batetik haratago, edo tamaina maximotik haratago luzatu, deformaziorik edo egoera-aldaketarik gabe. Material askoren portaera nabarmen urruntzen da Hookeren legetik muga elastiko horietara iritsi baino askoz lehenago.

Bestalde, Hookeren legea hurbilpen zehatza da gorputz solido gehienetarako, betiere indarrak eta deformazioak behar bezain txikiak badira. Hori dela eta, Hookeren legea asko erabiltzen da zientziaren eta ingeniaritzaren adar guztietan, eta sismologiaren, mekanika molekularraren eta akustikaren oinarri dira. Halaber, hainbat tresna eta gailuren funtsezko printzipioa da: malguki-balantza, manometroa, galbanometroa eta beste asko.

Lege horrek Robert Hooke fisikari ingelesaren izena du, Isaac Newtonen garaikidea eta arkitekturaran ekarpen oparoak egin zituena. Norbaitek bere aurkikuntza ebatsiko ote zion beldur, Hookek anagrama famatu baten moduan argitaratu zuen, ceiiinosssttuv, eta bi urte geroago azaldu zuen bere edukia. Anagrama latinezko Ut tensio sic vis esaldiarena zen ("nolako luzapena, halako indarra").

Hookeren legea matematikoki irudikatzeko modurik ohikoena malgukiaren ekuazioaren bidezkoa da. Ekuazio horretan, malgukiak jasandako ${\displaystyle \delta }$ elongazioa eta honek egindako ${\displaystyle F}$ indarra zuzenki proportzionalak dira. Bestalde, akzio-erreakzioaren legearen arabera, malgukiak jasandako indarra eta egindakoa kontrako zentzua duten bi indar berdin dira.

${\displaystyle F=-k\ \delta }$

non ${\displaystyle F}$ malgukiak egiten duen indarra baita, ${\displaystyle \delta }$ elongazioa eta ${\displaystyle k}$ berriz malgukiaren konstante elastikoa edo zurruntasuna.

Malgukiaren luzapenari lotutako deformazio-energia edo energia potentzial elastikoa (${\displaystyle U_{k}}$) ekuazio honek ematen du:

${\displaystyle U_{k}={\frac {1}{2}}\ k\ {\delta }^{2}}$

Garrantzitsua da nabarmentzea lehen zehaztutako ${\displaystyle k}$ zurruntasuna malgukiaren luzeraren eta haren eraketaren araberakoa dela. Malgukiaren konstante intrintsekoa ere defini daiteke, malguki horren luzerarekiko independentea, eta, hala, malguki bat osatzen duen lege diferentziala ezarriko dugu. ${\displaystyle k}$ malgukiaren zurruntasuna jatorrizko luzera osoarekin biderkatuz, eta biderkadurari ${\displaystyle k_{i}}$ (${\displaystyle k}$ intrintsekoa) deituz, honakoa lortzen da:

${\displaystyle k={\frac {k_{i}}{L}}}$

Mutur batetik x distantziara dagoen malgukiaren sekzio bateko tentsioa ${\displaystyle F(x)}$ izenda daiteke (x koordenatuen jatorritzat hartuko dugu, deformaziorik gabeko egoeran), eta ${\displaystyle k_{\Delta x}}$ malguki zati baten zurruntasuna, ${\displaystyle \Delta x}$ malguki zati horren luzera eta ${\displaystyle \delta _{\Delta x}}$ zati horrek jasan duen elongazioa. Horrela, zehatz daiteke:

${\displaystyle F(x)=-k_{\Delta x}\ \delta _{\Delta x}=-k_{i}{\frac {\delta _{\Delta x}}{\Delta x}}}$

Limiteak hartuz:

${\displaystyle F(x)=-k_{i}{\frac {{\delta }_{dx}}{dx}}}$

Hots:

${\displaystyle F(x)=-k_{i}{\frac {d{\delta }}{dx}}=-(A\ E){\frac {d\delta }{dx}}}$