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Drehimpuls

physikalische Erhaltungsgröße

Der Drehimpuls (in der Mechanik auch Drall oder veraltet Schwung oder Impulsmoment) ist eine physikalische Erhaltungsgröße. Ein System hat beispielsweise dann einen Drehimpuls, wenn es sich um seinen Massenschwerpunkt dreht, wie bspw. ein Kreisel, ein Sportler bei einer Pirouette oder ein Planetensystem.

Physikalische Größe
Name Drehimpuls
Größenart Wirkung
Formelzeichen
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI N·m·s = kg·m2·s−1 M·L2·T−1
Demonstrationsexperiment zur Drehimpulserhaltung (Video, 18 s). Indem die Person ein Drehmoment aufbringt, ändert der Drehimpuls des Rades seine Richtung in die Senkrechte (roter Pfeil). Nach dem Prinzip Actio gleich Reactio bekommt der Drehstuhl durch das Reaktionsmoment einen entgegengesetzten Drehimpuls (gelber Pfeil). Der vertikale Drehimpuls von null bleibt dabei erhalten.

Der Drehimpuls ist eine vektorielle Größe, und zwar – wie das Drehmoment und die Winkelgeschwindigkeit – ein Pseudovektor. Seine Dimension ist das Produkt aus Masse, Länge und Geschwindigkeit. Im SI-Einheitensystem wird er in Newtonmetersekunden () gemessen.[A 1] Sein Formelzeichen ist oder .

Der Drehimpuls eines Systems ist die Summe der Drehimpulse seiner Komponenten. Der Drehimpuls einer Komponente des Systems setzt sich im Allgemeinen aus zwei Komponenten zusammen (s. #Der Drehimpuls eines starren Körpers):

  1. dem Bahndrehimpuls, als dem Anteil, der aufgrund einer Bewegung eines massebehafteten Körpers bezüglich eines Bezugspunkts entsteht, sofern der Körper sich nicht direkt auf den Bezugspunkt zu oder von ihm weg bewegt.
  2. dem Eigendrehimpuls, als dem Anteil, der nicht Bahndrehimpuls ist. In der Mechanik wird dieser Anteil von der Rotation um den Massenschwerpunkt des Körpers hervorgerufen. In der Quantenmechanik ist es der Spin.

Der Drehimpuls bezieht sich immer auf den Punkt im Raum, der als Bezugspunkt der Drehbewegung gewählt wird. Bei einem frei rotierenden System wird als Bezugspunkt oft der Schwerpunkt festgelegt, in der Astronomie meist der Schwerpunkt des Zentralgestirns. Wenn die Rotation durch ein Lager vorgegeben ist, wird meist ein Punkt auf der Achse gewählt.

Der Drehimpuls eines Massenpunkts lässt sich als Vektorprodukt aus dem Ortsvektor und dem Impuls des Massenpunkts berechnen:

Bei einem ausgedehnten Körper mit Trägheitstensor bezüglich seines Massenmittelpunkts und der Eigendrehgeschwindigkeit um diesen addiert sich noch sein Eigendrehimpuls:

In der Quantenmechanik wird der Drehimpuls durch den Drehimpulsoperator beschrieben. Dabei zeigt sich, dass er eine quantisierte Größe ist. Der Betrag des Drehimpulses ist stets ein ganz- oder halbzahliges Vielfaches der reduzierten Planck-Konstante. Die Ausrichtung des Drehimpulses ist ebenfalls gequantelt. Sie unterliegt der Richtungsquantelung in Bezug auf die Quantisierungsachse. Die Rolle des Eigendrehimpulses wird vom Spin wahrgenommen, der nicht mit einer räumlichen Bewegung verbunden ist. Somit setzt sich der Drehimpulsoperator aus den Komponenten Bahndrehimpulsoperator und Spinoperator zusammen.

Leonhard Euler führte 1775 den Drallsatz als ein fundamentales von den Newton’schen Gesetzen unabhängiges Prinzip in der Mechanik ein.[1] Er besagt, dass ein Drehmoment auf das System einwirken muss, um den Drehimpuls zu ändern. Die Drehimpulserhaltung lässt sich im Alltag an vielen Stellen erfahren (siehe Video, oder Pirouetteneffekt).

Definition und Veranschaulichung

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Mit der Rechte-Hand-Regel kann die Richtung des Drehimpulsvektors als Daumenrichtung bestimmt werden.

Für einen Massenpunkt, der sich am Ort   mit dem Impuls   bewegt, wird der Drehimpuls durch das Kreuzprodukt

 

definiert. Bezugspunkt ist dabei der Ursprung  . Für den Drehimpuls um einen anderen Bezugspunkt   muss man   durch   ersetzen.

Zur Veranschaulichung geeignet ist der Fall, dass der Massenpunkt eine ebene Kreisbewegung um den Ursprung ausführt. Dann liegt der Drehimpulsvektor senkrecht zur Kreisebene, also in Richtung der Achse der Kreisbewegung, und hat den Betrag

 .

Der Drehimpuls wächst mit

  • höherer Winkelgeschwindigkeit   proportional,
  • größerer Masse   ebenfalls proportional,
  • größerem Abstand   dieser Masse zur Drehachse jedoch in quadratischem Verhältnis.

Die Reihenfolge der Faktoren in   ist eine Konvention. Somit zeigt der Drehimpulsvektor in die Richtung, in der sich bei gleichem Drehsinn eine Rechtsschraube voranbewegen würde. Es gilt die Korkenzieherregel oder Rechte-Faust-Regel: Wenn die gekrümmten Finger der rechten Hand die Richtung der Drehbewegung angeben, so zeigt der Daumen in Richtung des Drehimpulses (siehe Bild).

Den Drehimpuls eines ausgedehnten Körpers zu einem bestimmten Bezugspunkt erhält man, indem man die Drehimpulse seiner Massenpunkte zu diesem Bezugspunkt bildet und vektoriell addiert.

Auch wenn die Bezeichnung anderes vermuten lässt, haben auch solche Körper einen Drehimpuls, die anschaulich gesehen gar keine Drehung ausführen. Selbst ein geradlinig bewegter, nicht um sich selbst rotierender Körper besitzt einen Drehimpuls, wenn man den Bezugspunkt so wählt, dass er nicht auf der Bahn des Massenmittelpunkts des Körpers liegt. Der Drehimpuls berechnet sich dann einfach aus dem Produkt von Masse, Geschwindigkeit und senkrechtem Abstand des Bezugspunktes von der Bahn. Es lassen sich daher auch stets Bezugssysteme finden, in denen zur Bewegung des Massenmittelpunktes kein Drehimpuls gehört. Der Drehimpuls eines um seinen Massenmittelpunkt rotierenden Körpers hingegen verschwindet nur in einem mitrotierenden, also beschleunigten Bezugssystem.

Drehimpulserhaltung

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Erfahrungsgemäß bleibt der Drehimpuls eines isolierten physikalischen Systems nach Betrag und Richtung unverändert, gleichgültig, welche inneren Kräfte und Wechselwirkungen zwischen den Bestandteilen des Systems wirken. Dies wird als Drehimpulserhaltung bezeichnet. Nahezu perfekt isolierte Systeme sind z. B. die Atomkerne, die Moleküle in verdünnten Gasen und astronomische Objekte im Weltall. Das zweite Keplersche Gesetz, nach dem ein Planet sich auf seiner exzentrischen Umlaufbahn umso schneller bewegt, je näher er der Sonne ist, lässt sich aus der Drehimpulserhaltung herleiten.

Die Drehimpulserhaltung gilt auch in Anwesenheit äußerer Kräfte, wenn diese Kräfte insgesamt kein Drehmoment auf das System ausüben. In einem homogenen Schwerefeld gilt das z. B. für den Drehimpuls jedes Körpers um seinen eigenen Schwerpunkt. Sind die äußeren Kräfte auf verschiedene Teile eines Systems parallel zueinander, so bleibt jedenfalls die zu den Kräften parallele Komponente des Drehimpulses erhalten.

Die Drehimpulserhaltung zeigt sich beispielsweise bei Spielzeugkreiseln, beim Diskuswurf und beim Pirouetteneffekt.

Die Drehimpulserhaltung gilt für beliebige physikalische Systeme (z. B. auch elektromagnetische Felder) und kann mithilfe des Noether-Theorems daraus hergeleitet werden, dass die physikalischen Gesetze nicht von der Orientierung des betrachteten Systems im Raum abhängen.

Verschiebung, Drehung, Spiegelung

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Während Ortsvektor   und Impuls   bei einer Punktspiegelung um den Koordinatenursprung ihre Richtung umkehren, bleibt die des Drehimpulses bezüglich der Scheibenmitte   unverändert. (Im Bild sind die Vektoren in Fettdruck und nicht mit Pfeil gezeichnet.)

Betrag und Richtung des Drehimpulses einer Punktmasse hängen davon ab, welchen Punkt man als Bezugspunkt wählt. Bei Verschiebung des Bezugspunkts ändert sich der Vektor jedes Ortes in   und der Drehimpuls in

 

Oft wählt man als Bezugspunkt den Massenmittelpunkt oder einen Punkt, der bei den betrachteten Drehungen ruht, also auf der Drehachse liegt.

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren steht stets senkrecht auf der von ihnen aufgespannten Ebene, eine Drehung des betrachteten Systems aber dreht sowohl die Ortsvektoren als auch die Bahngeschwindigkeiten um denselben Betrag, wodurch auch der Drehimpuls in gleicher Weise mitgedreht wird.

Bei einer Punktspiegelung am Bezugspunkt geht der Ort in den gegenüber liegenden Ort über. Auch das Vorzeichen der Geschwindigkeit in Bezug auf diesen Punkt kehrt sich um. Bei der Bildung des Kreuzprodukts kompensieren sich diese beiden Vorzeichenwechsel, sodass sich bei einer Punktspiegelung der Drehimpuls nicht ändert. Damit unterscheidet er sich vom Verhalten der Geschwindigkeit oder des Ortsvektors: Der Drehimpuls gehört zur Klasse der Pseudovektoren.

Eulerscher Drehimpulssatz

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Zusammenhang von Kraft F, Drehmoment τ, Impuls p und Drehimpuls L bei der Drehschwingung eines Massenpunktes

Um den Impuls eines Körpers zu ändern, muss eine Kraft wirken. Genauer gesagt ist die zeitliche Änderung des Impulses die Kraft:

 

Ganz analog formulierte 1754 Leonhard Euler den Eulerschen Drehimpulssatz, nach dem die zeitliche Änderung des Drehimpulses bezüglich des Ursprungs gleich dem angreifenden Drehmoment   um den Ursprung ist:

 

Um den Drehimpuls eines Körpers zu ändern, muss ein Drehmoment auftreten. Ein Drehmoment ist das Kreuzprodukt von Abstandsvektor   und Kraft  :

 

Der Drehimpulssatz ergibt sich, wenn man den Drehimpuls nach der Zeit ableitet, beispielsweise bei einer Punktmasse am Ort  :

 

Da die Geschwindigkeit und der Impuls parallel sind, entfällt ihr Kreuzprodukt im unterstrichenen Term. Um den (Bahn-)Drehimpuls einer Punktmasse zu verändern, bedarf es also eines Moments  , das dem Moment der an der Punktmasse angreifenden Kraft   entspricht. Bei einem ausgedehnten Körper vermag auch ein Kräftepaar mit resultierender Kraft   eine Änderung des Drehimpulses auszulösen, was den Eigendrehimpuls betrifft, siehe unten. Der Eigendrehimpuls entfällt freilich bei einer Punktmasse.

Handelt es sich bei der Kraft um eine Zentralkraft  , so bleibt der Drehimpuls um das Zentrum erhalten, denn die zeitliche Änderung des Drehimpulses – das angreifende Moment der Zentralkraft – verschwindet:

 

Folglich ist der Drehimpuls um das Zentrum über die Zeit konstant. Dies betrifft insbesondere Planetenbewegungen um ein Zentralgestirn.

Ebene Bahn, Flächensatz

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Behält der Drehimpuls einer Punktmasse (beispielsweise die Erde, die die Sonne umläuft) jederzeit den anfänglichen Wert, dann verläuft die Bahn der Punktmasse in einer Ebene.

Denn das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren und zu allen Zeiten   gilt für den Drehimpuls bezüglich des Koordinatenursprungs

 

wenn   die Masse und   die Bahngeschwindigkeit der Punktmasse sind. Wenn nun der Drehimpuls zeitunabhängig ist,   dann erfüllt jeder Bahnpunkt die Ebenengleichung

 

Es handelt sich also um eine Bewegung in der Ebene durch den Massenmittelpunkt des Systems senkrecht zum Drehimpuls.

Dann gilt das zweite Keplersche Gesetz (auch Flächensatz genannt): Der Fahrstrahl zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.

Denn in einer kurzen Zeit   ändert sich der Fahrstrahl   um   und überstreicht dabei die Fläche des Dreiecks mit diesen beiden Seiten. Das Dreieck ist halb so groß wie das von beiden Vektoren aufgespannte Parallelogramm, dessen Inhalt durch den Betrag des Kreuzprodukts gegeben ist. In der Zeit   überstreicht der Fahrstrahl folglich die Fläche

 

Wenn der Drehimpuls sich nicht mit der Zeit ändert, ist folglich die Flächengeschwindigkeit konstant. Dieser Sachverhalt lässt sich auch auf Situationen verallgemeinern, in denen sich der Drehimpuls ändert, siehe Drallsatz#Flächensatz.

Der Flächensatz gilt auch in relativistischer Physik, wenn zudem die Energie   erhalten ist. Denn in relativistischer Physik ist

 

und

 

Für ebene Bahnen gibt es einen Zusammenhang zwischen Drehimpuls   und Winkelgeschwindigkeit  , der für den Runge-Lenz-Vektor relevant ist:

 

Zum Beweis zerlegt man die Geschwindigkeit in eine radiale und eine azimutale Komponente (siehe Polarkoordinaten/Geschwindigkeit),  . Im Kreuzprodukt mit   fällt die Radialgeschwindigkeit weg, und man erhält

 

Der Drehimpuls eines starren Körpers

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Der Drehimpuls eines Körpers ist die Summe der Drehimpulse seiner Komponenten:

 

bzw. für einen Körper mit kontinuierlicher Masseverteilung das Integral:

 
  •   … die Massen der Massepunkte des Körpers mit diskreter Masserverteilung
  •   … die Massendichte der kontinuierlichen Masseverteilung
  •   und   … die Orte und Geschwindigkeiten der Massepunkte des Körpers mit diskreter Masseverteilung
  •   … das Geschwindigkeitsfeld, das angibt, mit welcher Geschwindigkeit sich die Masse am Ort   bewegt

Mit Hilfe des Massenmittelpunkts eines Körpers und dessen Ortskoordinate   sowie seiner Schwerpunktsgeschwindigkeit   können darauf bezogene Ortskoordinaten   und die Winkelgeschwindigkeiten der Massepunkte   definiert werden. Dann lassen sich die Geschwindigkeiten ausdrücken als:

 

Bei einem starren Körper, dessen Ausrichtung zum Bezugspunkt konstant ist, sind zudem alle Winkelgeschwindigkeiten gleich groß  . Damit ergibt sich der Drehimpuls zu:

 

Hier sind zusätzlich

  •   die Gesamtmasse des Körpers und
  •   der Trägheitstensor des Körpers bezogen auf seinen Massenmittelpunkt.
Herleitung

Herleitung

Bei der Herleitung kommen verschiedene Umstellungen, die Graßmann-Identität (BAC-CAB-Formel), und die Definition des Massenmittelpunkts zum Einsatz:

 

Der erste Term   wird Bahndrehimpuls genannt, der zweite Term ist der Eigendrehimpuls.

Der Eigendrehimpuls

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Der Eigendrehimpuls eines starren Körpers ist der Anteil seines Drehimpulses, der durch die Rotation um seinen Massenmittelpunkt   darstellbar ist. Mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeit   und des Trägheitstensors  , jeweils auf den Massenmittelpunkt   bezogen, lässt er sich als deren Matrixprodukt berechnen:

 

Im Allgemeinen zeigen   und   nicht in die gleiche Richtung – ein rotierender Körper „eiert“, wenn er sich frei bewegen kann, oder zeigt Unwucht, wenn die Richtung der Achse festgehalten wird. Nur bei Rotation um eine der Hauptträgheitsachsen des Körpers sind   und   parallel, sodass die Erhaltung des Drehimpulses auch gleichbleibende Richtung der Drehachse und damit die Konstanz des Trägheitsmoments bewirkt. Der Trägheitstensor ist symmetrisch und deshalb sind die Hauptträgheitsachsen paarweise orthogonal. Aus dem Trägheitstensor kann man zu jeder beliebigen Drehachse das Trägheitsmoment und die Hauptträgheitsachsen durch Lösung des Eigenwertproblems berechnen.

Drehimpuls in der Relativitätstheorie

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In der Relativitätstheorie kann der Drehimpuls nicht in einen Vierervektor eingebettet werden. Dies wird bereits dadurch offensichtlich, dass   unter Lorentztransformationen wie   transformiert. Dieses Problem wird dadurch umgangen, dass der Drehimpulstensor   eingeführt wird. Dieser ist definiert als

 

und seine Einträge sind

 

mit  

Drehimpuls in der Quantenmechanik

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Nach den Gesetzen der Quantenmechanik ist der Drehimpuls gequantelt. Wenn in einem System Drehimpulserhaltung gilt, kann zu jedem Energieeigenzustand eines quantenmechanischen Systems ein gemeinsamer Eigenzustand mit dem Betragsquadrat des Gesamtdrehimpulsoperators   gefunden werden. Die Eigenwerte von   werden durch die Gesamtdrehimpulsquantenzahl   charakterisiert, die nichtnegative ganz- oder halbzahlige Werte ( ) annehmen kann. Der Drehimpuls beträgt dann

 

wobei   die reduzierte Planck-Konstante ist. Es ist üblich, an Stelle des Betrags des Drehimpulses als „Drehimpuls“ nur den Wert der Drehimpulsquantenzahl   anzugeben. Als Projektion des Drehimpulses in eine beliebige Richtung misst man immer ein halb- oder ganzzahliges Vielfaches   der reduzierten Planck-Konstante, wobei   Werte von   bis   in Schritten von   annehmen kann, zum Beispiel für   die Werte  . Dies sind insgesamt   verschiedene Werte. Dabei ist stets nur eine Komponente gleichzeitig messbar; die Messung der Projektion auf eine andere Richtung verändert das System.

In der Quantenmechanik setzt sich der Gesamtdrehimpuls   aus dem Bahndrehimpuls   und dem Spin   zusammen (Spin-Bahn-Kopplung). Bahndrehimpuls und Spin sind ebenfalls quantisiert, und die Einschränkungen in Bezug auf die unabhängige Messbarkeit ihrer Komponenten gelten ebenfalls. Eine weitere Einschränkung für die Bahndrehimpulsquantenzahl   ist, dass sie nur ganzzahlige Werte annehmen kann. Der Spin ist eine unveränderliche Eigenschaft von Elementarteilchen, die sich wie ein Drehimpuls verhält, aber nicht als klassischer Eigendrehimpuls erklärt werden kann. Die Spinquantenzahl   kann ganz- oder halbzahlige Werte annehmen.

Siehe auch

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Literatur

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Commons: Drehimpuls – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Drehimpuls – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Anmerkungen

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  1. Die formal identische Einheit Joulesekunde sollte nicht verwendet werden, weil das Joule für die Energie, eine skalare Größe, reserviert ist.

Einzelnachweise

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  1. Clifford Truesdell: Die Entwicklung des Drallsatzes. In: Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik (Hrsg.): Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (= Heft 4/5). Band 44, April 1964, S. 149–158, doi:10.1002/zamm.19640440402 (wiley.com).