Abstand

Im kartesischen Koordinatensystem berechnet man den Abstand (euklidischer Abstand) zweier Punkte mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:

 

${\displaystyle d(A,B)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}{\text{, wobei }}A=(a_{1},\dotsc ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ und }}B=(b_{1},\dotsc ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ^[1]

Für die Ebene (${\displaystyle A,B\in \mathbb {R} ^{2}}$ ):

${\displaystyle d(A,B)={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}}$ 

Für den dreidimensionalen Raum (${\displaystyle A,B\in \mathbb {R} ^{3}}$ ):

${\displaystyle d(A,B)={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}}}}$ ^[2]

Der Abstand eines Punkts von einer Geraden oder einer ebenen Fläche ist der Abstand vom Fußpunkt des darauf gefällten Lots, der von einer gekrümmten Linie ist stets ein Abstand von einer ihrer Tangenten.

Berechnungsmöglichkeiten für die Abstände von Punkten zu Geraden oder Ebenen sind in der Formelsammlung analytische Geometrie aufgeführt.

 

Der Abstand zwischen dem Punkt ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$  und der Geraden ${\displaystyle g}$  mit der Koordinatenform ${\displaystyle ax+by+c=0}$  beträgt:

${\displaystyle d(P,g)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$ 

Der Punkt auf der Geraden ${\displaystyle g}$ , der ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$  am nächsten liegt, hat die Koordinaten

${\displaystyle \left(x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}},\;y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}\right)}$ 

Wenn die Gerade ${\displaystyle g}$  durch die Punkte ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$  und ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$  verläuft, ist

${\displaystyle a=y_{2}-y_{1}}$ 

${\displaystyle b=x_{1}-x_{2}}$ 

${\displaystyle c=x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}$ 

Diese Werte können in die Formeln eingesetzt werden.^[3]

Beispiel

Eingesetzte Werte für Gerade ${\displaystyle g}$ : ${\displaystyle a=-3,\;b=4,\;c=10}$  und für Punkt ${\displaystyle P:\;x_{0}=4,\;y_{0}=6}$ 

${\displaystyle d(P,g)={\frac {(-3)\cdot 4+4\cdot 6+10}{\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}}={\frac {22}{5}}=4{,}4\;}$ 

Für die Konstruktion des Abstandes bedarf es als zusätzliches Hilfsmittel einer Dynamischen-Geometrie-Software (DGS).

Der Abstand zwischen dem Punkt ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$  und der Geraden ${\displaystyle g}$ , die durch die Punkte ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$  und ${\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})}$  verläuft, beträgt mit den Vektoren ${\displaystyle {\vec {p_{0}}},\;{\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}}}$ :

${\displaystyle d(P_{0},g)={\frac {\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{1}}}-{\vec {p_{0}}})\right|}{\left|{\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}}\right|}}={\frac {\left|({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{2}}})\right|}{\left|{\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}}\right|}}}$ ^[4]

Beispiel

 

Konstruktion des Abstandes ${\displaystyle d(P_{0},g)}$ .

Gegeben sind die Koordinaten der Punkte ${\displaystyle P_{1}=\left(3{,}5\left|2{,}5\right|0\right)}$  und ${\displaystyle P_{2}=\left(-1\left|7\right|0\right)}$ , durch die die Gerade ${\displaystyle g}$  verläuft, und der Punkt ${\displaystyle P_{0}=\left(5\left|6\right|3{,}5\right)}$ .

Nach dem Einzeichnen der Geraden ${\displaystyle g}$  durch ${\displaystyle P_{1}}$ , ${\displaystyle P_{2}}$  und dem Punkt ${\displaystyle P_{0}}$  werden die Verbindungsvektoren ${\displaystyle {\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}}}$  und ${\displaystyle {\vec {p_{0}}}}$  eingezeichnet. Eine abschließend errichtete Senkrechte auf die Gerade ${\displaystyle g}$  durch Punkt ${\displaystyle P_{0}}$  liefert den Abstand ${\displaystyle d(P_{0},g)=4{,}974\ldots \;}$ [LE].

Nachrechnung

Diese Werte in die Formel eingesetzt, ergeben

${\displaystyle d(P_{0},g)={\frac {\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{1}}}-{\vec {p_{0}}})\right|}{\left|{\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}}\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-1{,}5\\-3{,}5\\-3{,}5\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}-15{,}75\\-15{,}75\\22{,}5\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\right|}}}$ 

${\displaystyle ={\frac {\left|{\sqrt {(-15{,}75)^{2}+(-15{,}75)^{2}+22{,}5^{2}}}\right|}{\left|{\sqrt {(-4{,}5)^{2}+4{,}5^{2}+0^{2}}}\right|}}=4{,}974\ldots \;}$ [LE].

Zwei windschiefe Geraden (${\displaystyle g_{1},\;g_{2}}$ ), wobei die eine durch die Punkte ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$  und ${\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})}$  und die andere durch die Punkte ${\displaystyle P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})}$  und ${\displaystyle P_{4}=(x_{4},y_{4},z_{4})}$  verläuft, haben mit den Vektoren ${\displaystyle {\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}},\;{\vec {p_{3}}},\;{\vec {p_{4}}}}$  folgenden Abstand:

${\displaystyle d(g_{1},g_{2})={\frac {\left|({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})\cdot (({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{4}}}-{\vec {p_{3}}}))\right|}{\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{4}}}-{\vec {p_{3}}})\right|}}}$ ^[5]

Beispiel

 

Konstruktion des Abstandes ${\displaystyle d(g_{1},g_{2})}$  mithilfe einer Hilfsebene.

Gegeben seien die Koordinaten der vier Punkte ${\displaystyle P_{1}=\left(3{,}5\left|2{,}5\right|0\right),\;P_{2}=\left(-1\left|7\right|0\right),\;P_{3}=\left(5\left|6\right|3{,}5\right)}$  und ${\displaystyle P_{4}=\left(0{,}2\left|2{,}5\right|6\right).}$ 

Nach dem Einzeichnen der Geraden ${\displaystyle g_{1}}$  durch ${\displaystyle P_{1}}$ , ${\displaystyle P_{2}}$  und ${\displaystyle g_{2}}$  durch ${\displaystyle P_{3}}$ , ${\displaystyle P_{4}}$  werden zunächst die Verbindungsvektoren ${\displaystyle {\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}}\;{\vec {p_{3}}}}$  und ${\displaystyle {\vec {p_{4}}}}$  eingezeichnet. Für das Bestimmen der Hilfsebene wird eine Parallele zu ${\displaystyle g_{2}}$  durch ${\displaystyle P_{1}}$  gezogen und anschließend der Punkt ${\displaystyle A}$  beliebig auf der Parallele markiert. Mithilfe der somit gegebenen drei Punktes ${\displaystyle A,P_{1}}$  und ${\displaystyle P_{2}}$  wird die Ebene ${\displaystyle E}$  generiert. Es folgt das Fällen des Lots vom Punkt ${\displaystyle P_{3}}$  auf die Ebene ${\displaystyle E}$  mit Fußpunkt ${\displaystyle B}$  und eine Parallele zu ${\displaystyle g_{2},}$  die ${\displaystyle g_{1}}$  in ${\displaystyle C}$  (rot) schneidet. Abschließend liefert die Parallele zu ${\displaystyle {\overline {P_{3}B}}}$  ab dem Punkt ${\displaystyle C}$  bis zur Geraden ${\displaystyle g_{2}}$  den Abstand: ${\displaystyle d(g_{1},g_{2})=4{,}605\ldots \;}$ [LE].

Nachrechnung

Diese Werte eingesetzt in die Formel ergeben

${\displaystyle d(g_{1},g_{2})={\frac {\left|({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})\cdot (({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{4}}}-{\vec {p_{3}}}))\right|}{\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{4}}}-{\vec {p_{3}}})\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}1{,}5\\3{,}5\\3{,}5\end{pmatrix}}\cdot \left({\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4{,}8\\-3{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}}\right)\right|}{\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4{,}8\\-3{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}}\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}1{,}5\\3{,}5\\3{,}5\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}11{,}25\\11{,}25\\37{,}35\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}11{,}25\\11{,}25\\37{,}35\end{pmatrix}}\right|}}}$ 

${\displaystyle ={\frac {\left|186{,}975\right|}{\left|{\sqrt {11{,}25^{2}+11{,}25^{2}+37{,}35^{2}}}\right|}}=4{,}605\ldots \;}$ [LE].

Der Abstand zwischen dem Punkt ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$  und der Ebene ${\displaystyle E}$  mit der Koordinatenform ${\displaystyle ax+by+cz-f=0}$ ^{[A 1]} beträgt:

${\displaystyle \;\;(1)\;\;d(P_{0},E)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}-f|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$ ^{[A 1]}

Für die einzusetzenden Werte gilt:

${\displaystyle \;{\begin{aligned}&\left(2\right)a=y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}+y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}+y_{3}z_{1}-y_{1}z_{3}\\&\left(3\right)b=z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1}+z_{2}x_{3}-z_{3}x_{2}+z_{3}x_{1}-z_{1}x_{3}\\&\left(4\right)c=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\\&\left(5\right)f=x_{1}y_{2}z_{3}-x_{1}y_{3}z_{2}+x_{2}y_{3}z_{1}-x_{2}y_{1}z_{3}+x_{3}y_{1}z_{2}-x_{3}y_{2}z_{1}\\\end{aligned}}}$ 

Wenn drei Punkte ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ , ${\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})}$ , ${\displaystyle P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})}$  gegeben sind, die eine Ebene ${\displaystyle E}$  bestimmen (siehe Dreipunkteform) dann lässt sich der Abstand mithilfe der Vektoren ${\displaystyle {\vec {p_{1}}},\;{\vec {p_{2}}},\;{\vec {p_{3}}}}$  mit folgender Formel berechnen:

${\displaystyle \;\;(6)\;\;d(P_{0},E)=\left|{\frac {({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})}{\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})\right|}}\cdot ({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{1}}})\right|}$ ^{[6][A 2]}

Dabei steht ${\displaystyle \times }$  für das Kreuzprodukt, ${\displaystyle \cdot }$  für das Skalarprodukt und ${\displaystyle \left|\quad \right|}$  für den Betrag des Vektors.

Beispiel

 

Konstruktion des Abstandes ${\displaystyle d(P,E)}$ ^[7]

Gegeben seien die Koordinaten der drei Punkte der Ebene ${\displaystyle E\;}$  mit ${\displaystyle A=\left(1\left|0\right|0\right),\;B=\left(2\left|1\right|1\right),\;C=\left(3\left|0\right|2\right)}$  sowie des außerhalb liegenden Punktes ${\displaystyle P=\left(4\left|5\right|-3\right).}$ 

Nach dem Eintragen der Punkte ${\displaystyle A,\;B}$  und ${\displaystyle C}$  sowie des außerhalb liegenden Punktes ${\displaystyle P,}$  kann die Ebene ${\displaystyle E:2x-2z-2=0}$  generiert werden. Anschließend fällt man das Lot vom Punkt ${\displaystyle O}$  des Koordinatenursprungs auf die Ebene ${\displaystyle E}$  mit dem Fußpunkt ${\displaystyle D.}$  Durch die Punkte ${\displaystyle O}$  und ${\displaystyle D}$  verläuft auch der, aus der Parameterdarstellung von ${\displaystyle E}$  ermittelbare, Normalenvektor mit ${\displaystyle {\vec {n}}=\left(2\left|0\right|-2\right).}$  Abschließend liefert die Parallele zu ${\displaystyle {\overline {OD}}}$  ab dem Punkt ${\displaystyle P}$  bis zur Ebene ${\displaystyle E}$  den Abstand: ${\displaystyle d(P,E)=3\cdot {\sqrt {2}}\;=4{,}2426\ldots \;}$ [LE].

Nachrechnung

Ermittlung der einzusetzenden Werte für Formel ${\displaystyle (1)}$ 

${\displaystyle \;{\begin{aligned}&\left(2\right)a=0\cdot 1-1\cdot 0+1\cdot 2-0\cdot 1+0\cdot 0-0\cdot 2=2\\&\left(3\right)b=0\cdot 2-1\cdot 1+1\cdot 3-2\cdot 2+2\cdot 1-0\cdot 3=0\\&\left(4\right)c=1\cdot 1-2\cdot 0+2\cdot 0-3\cdot 1+3\cdot 0-1\cdot 0=-2\\&\left(5\right)f=1\cdot 1\cdot 2-1\cdot 0\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0-2\cdot 0\cdot 2+3\cdot 0\cdot 1-3\cdot 1\cdot 0=2\\\end{aligned}}}$ 

Diese Werte eingesetzt in ${\displaystyle (1)}$  ergeben schließlich

${\displaystyle \;\;(1)\;\;d(P_{0},E)={\frac {|2\cdot 4+0\cdot 5+(-2)\cdot (-3)-2|}{\sqrt {2^{2}+0^{2}+(-2)^{2}}}}=3\cdot {\sqrt {2}}\;=4{,}2426\ldots \;}$ [LE].

Das Ergebnis gleicht dem des Beispiels.

Die Definition des euklidischen Abstands kann mithilfe von Metriken verallgemeinert werden. Der euklidische Abstand ist der euklidischen Norm (2-Norm) eines Vektorraums, z. B. des dreidimensionalen euklidischen Raums, zugeordnet, siehe Metrischer Raum - Beispiele.

 

Die sogenannte Manhattan-Metrik ist eine Metrik, in der der Abstand ${\displaystyle d}$  zwischen zwei Punkten ${\displaystyle A}$  und ${\displaystyle B}$  als die Summe der absoluten Differenzen ihrer Einzelkoordinaten definiert wird:^[8]

${\displaystyle d(A,B)=\sum _{i}\left|A_{i}-B_{i}\right|}$ 

Die Manhattan-Metrik ist die von der Summennorm (1-Norm) eines Vektorraums erzeugte Metrik.

Weil die Wege zwischen zwei Punkten immer rechtwinklig entlang den horizontalen und vertikalen Linien (Straßen) verlaufen, aber nicht durch die quadratischen „Gebäudeblöcke“, ist der Abstand zwischen zwei Punkten nicht kleiner und im Allgemeinen größer als der euklidischen Abstand. Der Abstand zwischen zwei Punkten mit ganzzahligen Koordinaten (Kreuzungen) ist immer eine ganze Zahl.

So ist beispielsweise in der nebenstehenden Grafik die Manhattan-Metrik in einem zweidimensionalen Raum, sodass sich

${\displaystyle d(A,B)=\left|A_{1}-B_{1}\right|+\left|A_{2}-B_{2}\right|=\left|0-6\right|+\left|0-6\right|=\left|-6\right|+\left|-6\right|=12}$ 

ergibt, wobei ${\displaystyle A=(A_{1},A_{2})=(0,0)}$  und ${\displaystyle B=(B_{1},B_{2})=(6,6)}$  die schwarz markierten Punkte sind.

Auf der Kugeloberfläche wird der Abstand entlang von Großkreisen bestimmt und im Gradmaß oder Bogenmaß angegeben. Zur Berechnung des Abstandes siehe Orthodrome.

Auf dem Erdellipsoid oder anderen konvexen Flächen benutzt man die geodätische Linie oder den Normalschnitt.

In der Geodäsie und den Geowissenschaften spricht man eher von Distanz oder Entfernung, die metrisch angegeben wird.

 

Das Problem des dichtesten Punktpaares (englisch closest pair of points problem) ist die Suche nach den zwei am dichtesten beieinander liegenden Punkten in einer Ebene. Gegeben ist eine beliebige Menge von Punkten in der Ebene und gesucht sind zwei dieser Punkte, sodass der euklidische Abstand minimal ist. Ein ähnliches Problem ist die Suche nach den zwei am weitesten voneinander entfernten Punkten in der Ebene, also den zwei Punkten mit dem maximalen euklidischen Abstand.

Der Brute-force-Algorithmus berechnet die Abstände zwischen allen möglichen Punktpaaren und wählt das Punktpaar mit dem kleinsten Abstand aus. Die Laufzeit des Algorithmus ist quadratisch und liegt in ${\displaystyle O(n^{2})}$ . Ein Divide-and-conquer-Algorithmus hat eine Laufzeit, die in ${\displaystyle O(n\cdot \log n)}$  liegt.

• Entfernungsmaß
• Entfernungsmessung
• Geodätische Distanz

1. ↑ ^{a b} Um eine Doppelbezeichnung der Konstante ${\displaystyle d}$  zu vermeiden wurde mit passendem Vorzeichen ${\displaystyle -f}$  gewählt.
2. ↑ Im Gegensatz zur Formel aus dem englischen Sprachraum wurde für den Abstand die Bezeichnung ${\displaystyle d}$  anstatt ${\displaystyle D}$  gewählt.

1. ↑ Petra Stein, Sven Vollnhals: 3.5.1 Spezialfälle der Minkowski-Metrik: Das euklidische Distanzmaß. 3.5 Distanz- und Ähnlichkeitsmaße für metrische Variablen. In: Grundlagen clusteranalytischer Verfahren. Universität Duisburg-Essen, 1. April 2011, S. 15, abgerufen am 19. Oktober 2018. 
2. ↑ Klaus Hefft: 9.1.3 Euklidischer Raum. 9.1 Dreidimensionaler euklidischer Raum. In: MATHEMATISCHER VORKURS zum Studium der Physik. Universität Heidelberg, 8. Juli 2018, abgerufen am 19. Oktober 2018. 
3. ↑ Wolfram MathWorld: Point-Line Distance--2-Dimensional
4. ↑ Wolfram MathWorld: Point-Line Distance--3-Dimensional
5. ↑ Wolfram MathWorld: Line-Line Distance
6. ↑ Wolfram MathWorld: Point-Plane Distance
7. ↑ R. Verfürth: I.5.7. Parameterfreie Darstellungen einer Ebene.; Beispiel I.5.6. Mathematik für Maschinenbauer, Bauingenieure und Umwelttechniker I. Ruhr-Universität Bochum, Dezember 2006, S. 37―39, abgerufen am 22. Mai 2021. 
8. ↑ Wolfram MathWorld: Taxicab Metric