Aritmetika

Sabiranje je osnovna računska operacija aritmetike. U svom najjednostavnijem obliku, sabrati dva broja znaći naći broj ${\displaystyle a+b}$ 

Primjeri

${\displaystyle 2+2=4}$ 

${\displaystyle 3+5=8}$ 

Može se sabrati više od 2 broja. To uključuje sabiranje beskonačno mnogo brojeva. Sabiranje broja ${\displaystyle 1}$  s nekim brojem je najosnovniji oblik brojanja.

Sabiranjem broja ${\displaystyle 0}$  i nekog broja dobijamo taj broj.

5+0=5</math>

${\displaystyle 0}$  je neutralni element za sabiranje

Sabiranjem 2 suprotna broja dobijamo broj 0.

${\displaystyle 8+(-8)=0}$ 

To je inverzan element za sabiranje.

Važi zakon komutacije

${\displaystyle {\begin{cases}3+4=7\\4+3=7tj\\3+4=4+3=7\end{cases}}}$ 

Važi zakon asocijacije

${\displaystyle {\begin{cases}(2+3)+5=5+5=10\\2+(3+5)=2+8=10tj\\(2+3)+5=2+(3+5)=10\end{cases}}}$ 

Sabrati možemo i geometrijski, kao u sljedećem primjeru:

Ako imamo dva štapića dužine ${\displaystyle 2}$  i ${\displaystyle 5}$  i ako ih stavimo jedan za drugim, tako da se kraj prvog poklapa sa početkom drugog štapića. Dobićemo štap čija je dužina

${\displaystyle 2+5=7}$ .

Oduzimanje je inverzna operacija od sabiranja. Rezultat ove operacije je razlika. Oduzeti broj ${\displaystyle b}$  od broja ${\displaystyle a}$  znaći naći broj ${\displaystyle a-b}$  odnosno znaći naći zbir brojeva ${\displaystyle a}$  i ${\displaystyle (-b)}$ . To zapisujemo

${\displaystyle a-b=a+(-b)}$ 

Imamo sljedeće slučajeve

• Ako je ${\displaystyle a<b}$  onda je ${\displaystyle a-b<0,}$ 
• Ako je a>b onda je ${\displaystyle a-b>0}$ 
• Ako je a=b onda je ${\displaystyle a-b=0}$ 

Za oduzimanje ne važi zakon komutacije a ni asocijacije.

Množenje je druga osnovna računska operacija aritmetike. Pomnožiti 2 broja znaći naći broj ${\displaystyle a*b}$ , a to je

${\displaystyle a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a}}$ 

Primjer

${\displaystyle 3*4=4+4+4=12}$ 

Za množenje važi zakon komutacije

${\displaystyle {\begin{cases}2*6=6+6=12\\6*2=2+2+2+2+2+2=12tj\\2*6=6*2=12\end{cases}}}$ 

i asocijacije

${\displaystyle {\begin{cases}(2*3)*4=6*4=24\\*(3*4)=2*12=24tj\\(2*3)*4=2*12=24\end{cases}}}$ 

Ako broj ${\displaystyle a}$  pomnožimo sa ${\displaystyle 1}$  (neutalni element) dobićemo bro ${\displaystyle a}$ 

${\displaystyle 6*1=6}$ 

Ako broj ${\displaystyle a}$  pomnožimo sa recipročnom vrijednosti broja ${\displaystyle a}$  dobićemo broj ${\displaystyle 1}$ .

${\displaystyle 6*6^{-1}=1}$ 

Ovo je inverzan broj.

Bilo koji broj može imati recipročnu vrijednost osim ${\displaystyle 0}$ .

Dijeljenje je inverzna računska operacija množenju. Nije definisano dijeljenje brojem ${\displaystyle 0}$ .

Podijeliti 2 broja znaći naći broj ${\displaystyle a:b}$  odnosno naći proizvod broja ${\displaystyle a}$  i recipročne vrijednosti beoja ${\displaystyle b}$ .

To znaći

${\displaystyle a:b=a*b^{-1}}$  Imamo slučajeve

• Za ${\displaystyle a>b=>a:b>1}$ 
• Za ${\displaystyle a<b=>a:b<1}$ 
• Za ${\displaystyle a=b=>a:b=1}$ 

Ne važi zakon komutacije a ni asocijacije.

Za dijeljenje napisano kao proizvod važe sve osobine koje važe za množenje.

Sve vrste zapisa brojeva možemo zapisati decimalnim zapisom.

Primjer

zapis broja ${\displaystyle 507,36}$ 

${\displaystyle (507,36)_{10}=5*10^{3}+0*10^{2}+7*10+3*10^{-1}+6*10^{-2}}$ 

Ovaj zapis brojeva obuhvata sva pravila aritmetičkih operacija

${\displaystyle 2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}}$