Rekenkunde

Rekenkunde het betrekking op die praktiese bewerking van getalle. Die rekenkunde is dan ook vroeër l’arte min ore ("die kleinere kuns") genoem in teenstelling met die meer teoretiese I'arte maggiore ofte wel algebra. Die algebra is veral toegespits op die teorie van rekenkundige bewerkings en die oplos van vergelykings.

Die onderskeid tussen rekenkunde en algebra kan egter nie altyd baie skerp getref word nie. Die kuns van die rekenkunde word al lank bedryf, en dit was 'n praktiese vaardigheid wat byvoorbeeld deur priesters, astroloë en handelaars in Egipte, Babilonië en China beoefen is.

Oor die werklike ontstaan en die vroegste ontwikkeling van die getalbegrip kan daar slegs gegis word. In 1937 is daar byvoorbeeld 'n vonds gemaak van gekerfde bene (kerfstokke) wat uit die Vroeë Steentydperk dateer (ongeveer 25 000 jaar gelede).

Op hierdie kerfstokke is kort kerfies in groepies van 5, asook 'n aantal langer kerwe aangebring. Dit dui daarop dat daar lank voor die geskrewe woord reeds ʼn getalbegrip was. Die rekenkunde is veral sterk gestimuleer deur die handel (ruilhandel) wat tussen die ou volke gedryf is. By 'n gebrek aan hulpmiddels is die vingers eers gebruik om mee te tel. Dit het aanleiding gegee tot die ontwikkeling van talle vingerrekenstelsels, wat vir 'n lang tyd in stand gebly het.

Dit is dus nie verbasend dat die tientallige (desimale) stelsel byvoorbeeld met die eeue so sterk ontwikkel het nie. Naas die vingerrekening is die kerfstokrekening ook vir 'n tyd bedryf, maar die beste vordering is gemaak met die gebruik van die telraam of die abakus. Dit het uit ʼn raamwerk met lyne of drade bestaan waarop byvoorbeeld krale ingeryg was. Die drade het die eenhede, tientalle, honderdtalle, ensovoorts, voorgestel, terwyl die krale die hoeveelheid van elk aangedui het.

Die Romeine was veral lief vir die klein handabakus, wat selfs vandag nog in Japan, China en die Midde-Ooste op groot skaal gebruik word. Dit is opvallend dat die Romeine by die abakus 'n posisiestelsel gehad het wat nie in hulle getalstelsel (Romeinse syfers) voorgekom het nie. Na die verval van die Romeinse beskawing het die abakus in die 11e en 12e eeu in Europese kloosters opgeduik. Die abakus is byvoorbeeld op perkament geteken en skyfies in die plek van krale gebruik. In Wes- en Sentraal-Europa is die abakus mettertyd deur 'n lynrekenstelsel vervang.

Aan die begin van die 13e eeu is die Arabiese syferstelsel en –rekenkunde in Europa bekend gestel. Die stelsel het die algoritmes bevat wat vandag nog vir die 4 basiese bewerkings (optel, aftrek, vermenigvuldig, deel) gebruik word. Die abakus is toe ook deur potlood en papier vervang. Die Italiaanse koopman en geleerde Leonardo van Pisa (1170) -1250), ook bekend as Fibonacci, het hom veral vir die invoer van die Arabiese wiskunde beywer. Spoedig het die leerlinge in Venesië onderrig in die nuwe rekenkunde ontvang. Daar was egter ook hewige verset teen die sogenaamde Moslemse nuwigheid.

Die syfers kon volgens die syferteenstanders te maklik vervals word, en daaruit het die gebruik voortgespruit om 'n bedrag op 'n tjek in syfers sowel as woorde te skryf. Die gebruik van syfers is in een stadium selfs heeltemal verbied. Die eenvoud en die doeltreffendheid van die syferrekenkunde het egter die oorhand gekry, te meer aan die hand van die ontwikkeling van die wis- en natuurkunde, waarin ingewikkelde berekenings gedoen moes word.

Die Skotse wiskundige John Napier (1550 -1617) het ʼn belangrike bydrae gelewer tot die vereenvoudiging van rekenkundige bewerkings. Hy het onder meer die vermenigvuldiging van getalle vereenvoudig tot 'n optel van die getalle. In die 17e en 18e eeu is uitvoerige berekeningstabelle opgestel waaruit die antwoorde van berekenings regstreeks afgelees kon word. Dit het egter meegebring dat bewerkings dikwels lomp in plaas van eenvoudig was.

Uitvinders het toe met rekenmasjiene begin eksperimenteer waarmee die beperking van tabelle uitgeskakel kon word. Eenvoudige bewerkings is met behulp van hoofrekene en uitvoeriger berekenings met behulp van rekenmasjiene gedoen. Hoewel rekenmasjiene baie daartoe bydra om berekenings te vergemaklik, moet die gebruiker daarvan egter steeds die nodige insig in die rekenkunde verwerf om te weet watter resultate hy kan verwag.

Die rekenkunde is gerig op praktiese berekenings met getalle, dit wil sê doelgerigte bewerkings waaruit 'n antwoord in syfers verskaf word. Afgesien van die basiese berekenings, naamlik optel, aftrek, vermenigvuldig en deel, is daar ook die sogenaamde magsverheffing, worteltrekking, ensovoorts.

Die handeling van tel is die eenvoudigste rekenbewerking waarby 'n getal met bepaalde inkremente vergroot word (1, 2, 3 ... of 5, 10, 15 ... ensovoorts). Daaruit spruit willekeurige vermeerdering waarby 'n optelbewerking dan gedoen word (5 + 3 = 8). In die voorbeeld 5 + 3 = 8 word die nuwe hoeveelheid (8) die som genoem en 5 en 3 die terme, terwyl + die teken van handeling is.

Oor die algemeen kan die algebraïese vergelyking a + b= c gebruik word, waar a en b willekeurige getalle kan wees. Alle optelberekenings kan teruggevoer word na die optel van 2 enkelsyfergetalle volgens die algoritme of optelmetode wat in die onderstaande opteltabel verskyn. (5 (in die horisontale kolom) + 5 (in die vertikale kolom) = 10.) Verder kan elke getal in bepaalde eenhede ingedeel word, naamlik eentalle, tientalle, honderdtalle, ensovoorts.

Aftrek is die omgekeerde bewerking van optel, waarby 'n getal met 'n bepaalde dekrement (10, 8, 6 ..) of willekeurig verminder kan word. Die algemene skryfwyse is a - b = c, waar c die verskil is. Die algoritme van aftrek is nou verwant aan die van optel.

Vermenigvuldiging kan as 'n herhaalde optelling beskou word, byvoorbeeld 4 + 4 + 4+ 4 + 4 = 20. Aangesien die term 4 egter 5 keer daarin voorkom, word dit ook geskryf as SX 4 = 20. Die algemene skryfwyse is a X b = c of a.b. = c, waar c die produk van a en b is. Die algoritme van vermenigvuldiging kan ook in 'n vermenigvuldigingstabel saamgevat word.

Deling is die omgekeerde bewerking van vermenigvuldiging. Die algemene skryfwyse is a/b = c, waar a die deeltal is, b die deler, c die kwosiënt en / die teken vir deel. Deling kan herlei word tot ʼn herhaalde aftrekking, en die algoritme van deling kan ook uit ʼn vermenigvuldigingstabel gevind word.

Wanneer vermenigvuldiging met 'n bepaalde faktor herhaal word, byvoorbeeld 3 X 3 X 3 X 3 X 3, word dit ook geskryf as 3⁵, waar 3 die grondtal en 5 die eksponent is. By die berekening van byvoorbeeld 35 word die resultaat (243) dikwels die mag genoem. Die algemene skryfwyse is ab= c, en vir die eksponent 0 is die afspraak dat a⁰= 1. Vir magsverheffing is daar geen spesiale algoritme nie.

Worteltrekking is die omgekeerde bewerking van magsverheffing. Waar die antwoord vir die uitdrukking a^b by magsverheffing gevind moet word, is die probleemstelling by worteltrekking gewoonlik om die wortel of die grondtal (a) te vind. Die skryfwyse is a= ${\displaystyle {\sqrt[{b}]{c}}}$, en wanneer b = 2. dit wil sê a² of a X a word dit 'n vierkantswortel genoem .

In die 10-tallige ofte wel die desimale stelsel kan al die getalle in terme van eenhede, meervoude of magte van 10 uitgedruk word. Die getal 1 024 kan byvoorbeeld as volg uitgedruk word:  

1 024= 1 X 10³+ 2 X 10¹ + 4 X 10⁰ Oor die algemeen is die skryfwyse

vir enige getal (abcd) in 'n p-tallige stelsel (met gekose grondtal, byvoorbeeld 10, 2, ensovoorts): a X p³+ b X p²+ c X p¹ +d X p⁰=abcd. Die binêre of 2-tallige getalstelsel het net 2 syfers , naamlik 0 en 1. Die desimale ekwivalent van byvoorbeeld die binêre getal 1 101 word as volg verkry:

1101 = 1 X 2³ + 1 X 2² + 0 X 2¹ + 1 X 2⁰ = 13 (desimaal).

Die binêre ekwivalente van die desimale syfers 0 tot 9 word in die tabel aangegee:

0 = 0000

1 =0001

2= 0010

3 = 0011

4=0100

5= 0101

6 = 0110

7 =0111

8 = 1000

9= 1001

• Wêreldspektrum, 1982, ISBN 0908409648, volume 23, bl. 198

• Wikimedia Commons het meer media in die kategorie Rekenkunde.