Суперизбыточное число

Суперизбыточное число (SA от англ. superabundant) — натуральное число ${\displaystyle n}$ такое, что для всех ${\displaystyle m<n}$ выполнено

${\displaystyle {\frac {\sigma (m)}{m}}<{\frac {\sigma (n)}{n}}~,}$

где ${\displaystyle \sigma }$ — функция делителей (то есть сумма всех положительных делителей числа ${\displaystyle n}$, включая ${\displaystyle n}$).

Первые несколько суперизбыточных чисел^[1]: 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, …. Например, число 5 не является суперизбыточным числом, потому что для 1, 2, 3, 4 и 5 сигма равна 1, 3, 4, 7, 6, и 7/4 > 6/5.

Избыточные числа определялись^{[уточнить]} Леонидасом Алаоглу и Палом Эрдёшем^[2]. Около 30 страниц статьи Рамануджана 1915 года «Сверхсоставные числа», которые были неизвестны Алаоглу и Эрдёшу, были закрыты^{[уточнить]}. Эти страницы были наконец опубликованы в Журнале Рамануджана 1 (1997), 119—153^{[уточнить]}. В разделе 59 этой статьи Рамануджан определяет обобщённые сверхсоставные числа, которые включают в себя суперизбыточные числа.

Леонидас Алаоглу и Пал Эрдёш (1944^[2]) доказали, что если ${\displaystyle n}$ суперизбыточно, то существуют ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsb ,a_{k}}$ такие, что

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}(p_{i})^{a_{i}}~,}$

где:

${\displaystyle p_{i}}$ — ${\displaystyle i}$-е простое число;

${\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \dotsb \geqslant a_{k}\geqslant 1~.}$

То есть, они доказали, что если ${\displaystyle n}$ является суперизбыточным, разложение ${\displaystyle n}$ на простые числа имеет невозрастающие показатели (показатель большего простого числа никогда не больше, чем это меньшее простое число) и что все простые числа вплоть до ${\displaystyle p_{k}}$ — множители ${\displaystyle n}$. Тогда, в частности, любое суперизбыточное число является чётным целым числом, кратным ${\displaystyle k}$-му простому ${\displaystyle p_{k}\#}$.

Фактически, последний показатель степени ${\displaystyle a_{k}}$ равен 1, кроме случаев, когда ${\displaystyle n}$ равно 4 или 36.

Суперизбыточные числа тесно связаны со сверхсоставными. Не все суперизбыточные числа являются сверхсоставными числами. Фактически, только 449 суперизбыточных и сверхсоставных чисел совпадают (последовательность A166981 в OEIS). Например, 7560 сверхсоставно, но не суперизбыточно. Напротив, 1163962800 суперизбыточно, но не сверхсоставно.

Алаоглу и Эрдёш заметили, что все избыточные числа весьма избыточные.

Не все суперизбыточные числа являются числами харшад. Первым исключением является 105-й номер SA — 149602080797769600. Сумма цифр равна 81, но 81 не делится на этот номер SA равномерно.

Суперизбыточные числа также представляют интерес в связи с гипотезой Римана и теоремой Робина в связи с тем, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению:

${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{e^{\gamma }n\log \log n}}<1}$

для всех ${\displaystyle n}$, превышающих наибольшее известное исключение, суперизбыточное число 5040. Если это неравенство имеет больший контрпример, доказывающий ложность гипотезы Римана, наименьший такой контрпример должен быть суперизбыточным числом^[3].

Не все суперизбыточные числа являются колоссально избыточными.

Обобщённые ${\displaystyle k}$-суперизбыточные числа — такие числа, что ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sigma _{k}(m)}{m^{k}}}<{\frac {\sigma _{k}(n)}{n^{k}}}}$ для всех ${\displaystyle m<n}$, где ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$ является суммой ${\displaystyle k}$-х степеней делителей ${\displaystyle n}$.

1-суперизбыточные числа — суперизбыточные числа. 0-суперизбыточные числа — сверхсоставные числа.

Например, обобщёнными 2-суперизбыточными числами являются^[4] 1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240, …

• Keith Briggs. Abundant numbers and the Riemann hypothesis // Experimental Mathematics. — 2006. — Т. 15. — С. 251–256.
• Amir Akbary, Zachary Friggstad. Superabundant numbers and the Riemann hypothesis // American Mathematical Monthly. — 2009. — Т. 116, вып. 3. — С. 273–275. — doi:10.4169/193009709X470128.

• MathWorld: Суперизбыточное число