Тау-число

Тау-число (${\displaystyle \tau }$-число, англ. refactorable number) — целое число ${\displaystyle n}$, делящееся на число своих делителей, или, выражаясь алгебраически, такое ${\displaystyle n}$, что ${\displaystyle \tau (n)|n}$. Первые несколько тау-чисел^[1]:

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96.

Например, 18 имеет шесть делителей (1, 2, 3, 6, 9, 18) и делится на 6.

Тау-числа имеют асимптотическую плотность нуль. Никакие три последовательных целых числа не могут быть тау-числами^[2] Колтон доказал, что ни одно тау-число не является совершенным. Уравнение ${\displaystyle (n,x)=\tau (n)}$ (где ${\displaystyle (n,x)}$ — наибольший общий делитель ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle x}$) имеет решение только в случае, если ${\displaystyle n}$ — тау-число.

Остаются нерешёнными несколько проблем относительно тау-чисел:

• существуют ли сколь угодно большие ${\displaystyle n}$, для которых и ${\displaystyle n}$, и ${\displaystyle n+1}$ являются тау-числами
• если существует тау-число ${\displaystyle n_{0}\equiv a{\pmod {m}}}$, следует ли из этого, что существует ${\displaystyle n>n_{0}}$, такое что ${\displaystyle n}$ является тау-числом и ${\displaystyle n\equiv a{\pmod {m}}}$.

Тау-числа были впервые определены Кёртисом Купером^[англ.] и Робертом Кеннеди в 1990 году^[3], установившими, что тау-числа имеют нулевую асимптотическую плотность. Позднее они были переоткрыты Саймоном Колтоном (Simon Colton) с помощью программы, которую он написал для изобретения и проверки различных определений в теории чисел и теории графов^[4]. Колтон назвал эти числа англ. refactorable. Хотя компьютерные программы и обнаруживали доказательства ранее, это был первый случай, когда программа нашла новую или ранее незамеченную идею. Колтон доказал много результатов о тау-числах, показав бесконечность их числа и несколько условий их распределения.