Logika matematyczna

Logika matematyczna – dział matematyki, który wyodrębnił się jako samodzielna dziedzina na przełomie XIX i XX wieku, wraz z dążeniem do dogłębnego zbadania podstaw matematyki. Koncentruje się ona na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki.

W początkowym okresie rozwoju tego działu używano też nazwy logika symboliczna (w celu odróżnienia od logiki filozoficznej). Nazwa logika matematyczna została użyta po raz pierwszy przez włoskiego matematyka Giuseppe Peana.

Korzenie logiki matematycznej tkwią w badaniach Gottfrieda Leibniza, ale jej burzliwy rozwój zaczął się w pierwszej połowie XIX wieku w wyniku prac George'a Boole'a i Augusta De Morgana nad algebraizacją logiki. Niektóre z ważniejszych wydarzeń w historii logiki matematycznej:

• 1879: Gottlob Frege rozwija formalny rachunek logiczny bliski dzisiejszej logice drugiego rzędu^[1].
• Lata 70. XIX wieku: niemiecki matematyk Georg Cantor rozwija podstawy współczesnej teorii mnogości.
• 1892–1908: Peano publikuje wielotomowy formalny wykład matematyki Formulario mathematico. Część dotycząca logiki matematycznej miała duży wpływ na późniejsze prace.
• 1899: David Hilbert podaje pierwsze, formalnie poprawne, aksjomatyczne ujęcie geometrii klasycznej, właściwie ją formalizując i podając 21 aksjomatów^[2].
• 1908: Ernst Zermelo przedstawia pierwszą próbę aksjomatyzacji teorii mnogości^[3]. Lista aksjomatów zaproponowana przez Zermela została niezależnie poprawiona przez Thoralfa Skolema i Abrahama Fraenkla około roku 1922. Dzisiaj aksjomaty te, znane jako aksjomaty Zermela-Fraenkla, są powszechnie akceptowaną podstawą teorii mnogości i całej matematyki.
• 1910–1913: Bertrand Russell i Alfred North Whitehead pracują nad formalizacją matematyki i logiki zawierając swoje wyniki w trzytomowej monografii Principia mathematica.
• 1929: austriacki matematyk Kurt Gödel dowodzi w swojej rozprawie doktorskiej, że każda niesprzeczna teoria pierwszego rzędu ma model (twierdzenie Gödla o zupełności)^[4].
• 1931: Gödel publikuje sławne dwa twierdzenia o niezupełności^[5].
• 1933: Alfred Tarski publikuje sławną pracę o niedefiniowalności pojęcia prawdy^[6].
• 1936: Alan Turing wprowadza pojęcie maszyny Turinga zaczynając systematyczne badania funkcji obliczalnych i wykazując nierozstrzygalność problemu stopu.
• 1963/64: Paul Cohen wprowadza metodę forsingu^[7][8][9].

Zgodnie z klasyfikacją badań naukowych w matematyce prowadzoną przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, aktualne badania w logice matematycznej (oznaczonej kodem 03-xx Mathematical logic and foundations) są podzielona na osiem działów. Wśród nich znajdują się:

• 03Bxx Logika ogólna
• 03Cxx Teoria modeli
• 03Dxx Teoria rekursji
• 03Exx Teoria mnogości
• 03Fxx Teoria dowodu
• 03Gxx Logika algebraiczna
• 03Hxx Teoria modeli niestandardowych

Jednym z podstawowych źródeł o stanie badań we współczesnej logice matematycznej jest Handbook of Mathematical Logic^[10]. Zgodnie z tym źródłem (i jego podziałem na 4 części), można uznać, że teoria dowodu, teoria modeli, teoria rekursji i teoria mnogości są czwórką na którą składają się fundamenty matematyki.

Logika matematyczna jest jedną z tych dziedzin matematyki, w których wkład polskich matematyków był i jest bardzo istotny. Matematycy związani zarówno z warszawską szkołą matematyczną jak i z lwowską szkołą matematyczną byli zainteresowani problemami w szeroko rozumianej logice matematycznej, choć często zainteresowania te były motywowane ich pracami w topologii czy też analizie funkcjonalnej. Między innymi dlatego pierwsze wyspecjalizowane czasopismo matematyczne na świecie, założone w Polsce Fundamenta Mathematicae, było poświęcone właśnie podstawom matematyki, logice matematycznej i związanym z nimi dziedzinom: topologii, analizy rzeczywistej i teorii miary.

Tradycje te są kontynuowane współcześnie przez wielu polskich matematyków pracujących w kraju jak i poza jego granicami. Wśród polskich matematyków powszechnie uznanych za wybitnych, ważny wkład w rozwój logiki matematycznej mieli:

• Stefan Banach (1892–1945),
• Zygmunt Janiszewski (1888–1920),
• Bronisław Knaster (1893–1980),
• Kazimierz Kuratowski (1896–1980),
• Stanisław Leśniewski (1886–1939),
• Jan Łukasiewicz (1878–1956),
• Jerzy Łoś (1920–1998),
• Edward Marczewski (1907–1976),
• Stanisław Mazur (1905–1981),
• Andrzej Mostowski (1913–1975),
• Otton Nikodym (1887–1974),
• Helena Rasiowa (1917–1994),
• Wacław Sierpiński (1882–1969),
• Roman Sikorski (1920–1983),
• Alfred Tarski (1901–1983),
• Stanisław Ulam (1909–1984).

Zobacz podręcznik w Wikibooks: Matematyka dla liceum – Logika

• logika

• Logika i teoria mnogości (materiały dydaktyczne MIMUW)
• Logika dla informatyków (materiały dydaktyczne MIMUW na studia informatyczne II stopnia)
• Logika dla informatyków (skrypt prof. Leszka Pacholskiego z UWr)
• Polskie piśmiennictwo z zakresu logiki matematycznej dostępne w Sieci (Katalog HINT)
• Mathematical logic (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-06-02].