Logika matematiko

Logika matematikoa, logika sinbolikoa, logika teoretikoa, logika formala edo logistika ere deitua^[1], logikaren azterketa formal eta sinbolikoa da, eta matematikaren eta zientziaren arlo batzuetan duen aplikazioa. Logika formalaren teknikak matematikaren eta arrazoiketa matematikoaren eraikuntzan eta garapenean aplikatzea ulertzen du, eta, elkarrekin, logika formalaren irudikapenean eta analisian teknika matematikoak aplikatzea. Logika matematikoaren ikerketak berebiziko garrantzia izan du matematikaren oinarriak aztertzean.

Logika matematikoak inferentziaz aztertzen du logika proposizionala, lehen mailako logika edo logika modala bezalako sistema formalak eraikiz. Sistema hauek, lengoaia naturaletan balio duten inferentzien funtsezko ezaugarriak harrapatzen dituzte, baina, analisi matematikoa izan dezaketen egitura formalak direnez, hauei buruzko demostrazio zorrotzak egitea ahalbidetzen dute.

Logika matematikoa lau arlotan banatu ohi da: ereduen teoria, demostrazioaren teoria, multzoen teoria eta konputagarritasunaren teoria. Frogapenaren teoria eta ereduen teoria logika matematikoaren oinarria izan ziren. Multzoen teoria Georg Cantorek infinituaren azterketan sortu zen, eta logika matematikoaren gai desafiatzaile eta garrantzitsuenetako askoren iturria izan da, Cantorren teorematik, aukerako axiomatik eta continuumaren hipotesiaren independentziatik abiatuta, axioma kardinal handiei buruzko eztabaida modernora. Logika matematikoak lotura estuak ditu konputazio zientziekin. Konputagarritasunaren teoriak konputazioaren ideia termino logiko eta aritmetikoetan harrapatzen du. Bere lorpenik klasikoenak Alan Turingen Entscheidungsproblem delakoaren adierazezintasuna eta Church-Turingen tesiaren aurkezpena dira. Gaur egun, konputagarritasunaren teoria konplexutasun-moten arazo finenaz (noiz da eraginkortasunez konpon daitekeen arazoa?) eta disolbaezintasun-graduen sailkapenaz arduratzen da nagusiki.

Logika matematikoak oinarrizko nozio eta objektu matematikoen definizioak ere aztertzen ditu, hala nola, multzoak, zenbakiak, demostrazioak eta algoritmoak. Logika matematikoak dedukzio-arau formalak, hizkuntza formalen adierazpen-gaitasunak eta horien propietate metalogikoak aztertzen ditu.

Oinarrizko maila batean, logikak arauak eta teknikak ematen ditu sistema formal jakin baten barruan emandako argudio bat baliozkoa den ala ez erabakitzeko. Maila aurreratu batean, logika matematikoa teoria matematikoak axiomatizatzeko aukeraz arduratzen da, haien adierazpen-gaitasuna sailkatzeaz eta sistema formaletan baliagarriak diren metodo konputazionalak garatzeaz. Frogapenaren teoria eta alderantzizko matematika logika matematiko abstraktuaren azken arrazoibideetako bi dira. Aipatu behar da logika matematikoa bere alderdi guztietan baliokideak ez diren sistema formalez arduratzen dela, eta, beraz, logika matematikoa ez da mundu fisiko errealeko egiak aurkitzeko metodo bat, baizik eta teoria zientifikoei, bereziki matematika konbentzionalari, aplika dakizkiekeen eredu logikoen iturri posible bat.

Bestalde, logika matematikoak ez du giza arrazonamendu orokorraren kontzeptua edo argumentu zorrotzen bidez baina zenbait zeinu edo diagramarekin lengoaia informala erabiliz demostrazio matematikoak eraikitzeko prozesu sortzailea aztertzen, baizik eta erabat formaliza daitezkeen demostrazio eta arrazonamenduena.

XIX. mendearen bigarren erditik aurrera, logika goitik behera irauli zen. 1847an, George Boolek Logikaren analisi matematikoa izeneko tratatu labur bat argitaratu zuen, eta 1854an beste garrantzitsuago bat, Pentsamenduaren legeak izenekoa. Booleren ideia logika kalkulu gisa eraikitzea izan zen, non egiaren balioak F (faltsukeria) eta V (egia) bidez adierazten diren, eta horiei batuketa eta biderketa bezalako eragiketa matematikoak aplikatzen zaizkien.

XIX. mendearen azken herenean logikak bere eraldaketarik sakonena aurkitu zuen ikerketa matematiko eta logikoen eskutik, hizkuntzaren egitura sakonen, linguistikoaren ikerketaren garapenarekin batera, behin betiko zientzia formal bihurtuz. Zientzia formala da, ideiak aztertzen dituelako eta ezagutzaren beste zientzia eta arlo guztietarako tresna kontzeptuala delako. Ezagutza arrazionalen eta koherenteen multzo sistematiko baten parte da, prozesu logikoak eta matematikoak aztertzeaz arduratzen dena.

Aldi berean, Augustus De Morganek 1847an bere Logika formala argitaratu zuen. Bertan, De Morganen legeak sartu zituen eta silogismoaren nozioa orokortzen saiatu zen. Beste zergadun ingeles garrantzitsu bat John Venn izan zen, 1881ean Logika Sinbolikoa liburua argitaratu zuena, non Vennen diagrama ospetsuak sartu zituen.

Charles Sanders Peircek eta Ernst Schröderrek ere ekarpen garrantzitsuak egin zituzten.

Hala ere, logikaren benetako iraultza Gottlob Fregeren eskutik etorri zen, sarritan Aristotelesekin batera historiako logikarik garrantzitsuentzat hartzen dena. 1879ko bere lanean, Konzeptografian, Fregek predikatuen logika eta kalkulu proposizionalaren sistema oso bat eskaintzen du lehen aldiz. Hizkuntza formalaren ideia ere garatzen du eta frogaren nozioa definitzen du. Ideia horiek oinarrizko oinarri teorikoa izan ziren konputagailuen eta konputazio-zientzien garapenerako, besteak beste. Hala eta guztiz ere, Fregeren garaikideek alde batera utzi zituzten beren ekarpenak, ziur aski egileak garatu zuen notazio korapilatsuagatik. 1893 eta 1903an, Fregek Aritmetikaren legeak bi liburukitan argitaratu zuen, non matematika osoa logikatik deduzitzen saiatu zen, proiektu logistiko bezala ezagutzen den horretan. Haren sistemak eta multzoen teorian zuen aplikazioak, ordea, kontraesana zekarren (Russellen paradoxa).

Logika matematikoa Giuseppe Peanok diziplina honetarako emandako izena izan zen. Funtsean Aristotelesen logika da, baina aljebratik hartutako notazio berri abstraktuago baten ikuspuntutik.

XX. mendean logikaren garapen itzeletako bat izan zen. XX. mendetik aurrera, logika bere berezko interesagatik aztertu zen, eta ez bakarrik propedeutika gisa zituen bertuteengatik, askoz maila abstraktuagoetan aztertu zen.⁸

1910ean, Bertrand Russellek eta Alfred North Whiteheadek Principia mathematica argitaratu zuten. Lan monumental horretan, matematikaren zati handi bat logikatik abiatuta lortu zuten, Frege erori zen paradoxetan erortzea saihestuz. Teoria matematikoak tautologia logikoak zirela suposatzen zen, eta programak hori erakutsi behar zuen matematika logikara murriztuz. Autoreek Fregeren meritua aitortzen dute hitzaurrean. Fregeren lanarekin kontrastean, Principia mathematicak erabateko arrakasta izan zuen, eta XX. mende osoko ez-fikziozko lan garrantzitsu eta eraginkorrenetakotzat jo zen. Principia mathematicak Giuseppe Peanorenean inspiratutako notazio bat erabiltzen du, gaur egun oraindik asko erabiltzen dena.

1912an I. Lewisek Conditionals and the Algebra of Logic argitaratu zuen, Russell eta Whitehead-en Printzia Mathematikoaren ondoren. 1918an A Survey of Symbolic Logic argitaratu zuen, eta bertan beste baldintza egokiago bat proposatu zuen hizkuntza naturalaren «bai... orduan» esamoldearen esanahia jasotzeko. Lewisek inplikazio zorrotza deitzen dio. Baldintza berriak, egiazkoa izateko, aurrekariaren eta kontsekuentearen arteko erlazio sendoagoa eskatzen du, baldintza klasikoa baino.

1920an David Hilbertek modu esplizituan proposatu zuen Hilbert-en programa bezala ezagutua izan zen ikerketa-proiektu bat . Matematika oinarri sendo eta erabat logikoetan formulatzea nahi zuen. Proiektua Gödelen osatu gabeko teoremek ezeztatu zuten. Hilberten programaren adierazpena eta Gödelen ezeztapena logika matematikoaren bigarren esparrua, matematika logikari aplikatzea frogapenaren teoriaren forman, ezartzearen mende zeuden. Osatugabetasunaren teoremen izaera negatiboa gorabehera, Gödelen konplexutasunaren teorema, emaitza bat ereduen teorian eta matematikaren beste aplikazio bat logikan, logismo hurbilaren frogapen gisa uler daiteke: hertsiki definitutako teoria matematiko oro lehen mailako teoria batek zehatz harrapa dezake. Frege-ren proba kalkulatzea nahikoa da matematika osoa deskribatzeko, nahiz eta haren baliokidea ez izan.

Konputazio-eredu abstraktuen jatorria 1930eko hamarkadan kokatzen da (ordenagailu modernoak existitu aurretik), Alonzo Church, Kurt Gödel, Stephen Kleene, Emil Leon Post, Haskell Curry eta Alan Turing logikoen lanean. Hasierako lan horiek eragin handia izan dute, bai garapen teorikoan, bai konputazioaren praktikaren alderdi askotan; izan ere, helburu orokorreko ordenagailuen existentzia, programak interpretatzeko aukera, softwarearen eta hardwarearen arteko dualtasuna eta produkzio arauetan oinarritutako egitura formalen bidezko lengoaien irudikapena aurreikusi dira.

Gerhard Gentzenek inferentzia logikoari buruzko ikerketak (Untersuchungen über das logische Schliessen) lanean sartu zuen dedukzio naturala, 1934-1935 aldian argitaratua.

1940ko hamarkadan Alfred Tarski, bere ikasleekin batera, aljebra erlazionala garatzen hasi zen, non multzoen teoria axiomatikoa nahiz Peanoren aritmetika adieraz daitezkeen. Bere dizipuluekin batera aljebra zilindrikoak ere garatu zituen, aljebra boolearrak logika proposizionalera lehen mailako logikara doazenak. 1941ean ingelesez logikako eskuliburu ospetsuenetako bat argitaratu zuen, Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences.

Noam Chomskyk 1956an hizkuntza formalak sortzen dituzten gramatika formalen sailkapen hierarkiko bat proposatzen du, Chomskyren hierarkia izenekoa.

Sistema garaikideen argitan logika aristotelikoa okerra eta osatugabea irudi dezakeen arren, Jan Lukasiewiczek erakutsi zuen, zailtasun handiak izan arren, logika aristotelikoa sendoa zela, klaseen logika gisa interpretatu behar bazen ere, eta hori ez da aldaketa txikia. Horregatik, silogistikak ia ez du erabilerarik gaur egun.

Logika proposizionalaz eta predikatuen logikaz gain, XX. mendeak beste sistema formal askoren garapena ikusi zuen; horien artean, jokamolde logiko asko nabarmentzen dira.