Divergent rekke

En divergent rekke er i matematikken en rekke som ikke er konvergent. Det betyr at den uendelige følgen av rekkens delsummer ikke har noen endelig grense.

Hvis en rekke konvergerer, må hvert ledd avta i størrelse og gå mot null. Men dette i seg selv er ingen garanti for at rekken er konvergent. Det mest kjente eksempel er den harmoniske rekken

${\displaystyle H_{\infty }=1\,+\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,+\,\cdots .\!}$

som allerede på 1300-tallet ble bevist av Nicole Oresme å være divergent slik at summen nærmer seg uendelig når man tar med mer og mer ledd.

Enhver rekke hvor de individuelle leddene ikke nærmer seg null, vil divergere. Men likevel har det vist seg at for mange slike rekker kan man tilordne et endelig tall som vanligvis omtales som rekkens «sum». Slike rekker sies å være «summérbare» ved bruk av forskjellige summasjonsmetoder. Dette gjelder for eksempel Grandis rekke 1 - 1 + 1 - 1 + ...  som kan tilordnes summen 1/2 ved bruk av Cesàro-summasjon eller andre, ekvivalente metoder. Et eksempel på en slik alternativ metode er Abel-summasjon som kan føres tilbake til Niels Henrik Abel og hans konvergensteorem. Andre metoder er basert på egenskapene til analytiske funksjoner og spesielt zetafunksjonen.

Leonhard Euler var den første matematiker som på 1700-tallet systematisk undersøkte egenskapene til divergente rekker. Senere har de mange andre store matematikere beskjeftigt seg med disse rekkene. En fornyet interesse skapte Ramanujan på begynnelsen av 1900-tallet da han viste hvordan summen av de naturlige tallene kunne tilordnes verdien -1/12.

Slike divergente rekker opptrer også mange ganger i teoretisk fysikk og spesielt innen kvantefeltteori. Tilsvarende summasjonsteknikker benyttes her og blir vanligvis omtalt som «reguleringsmetoder». Det fysiske resultatet må være uavhengig av hvilken metode som er benyttet. Et viktig eksempel er beregning av Casimir-effekten hvor verdien av den divergente summen kan eksperimentelt bestemmes ved målinger i laboratoriet.

Divergente Rækker er i det Hele noget Fandenskap, og det er en Skam at man vover at Grunde nogen Demonstration derpaa. Man kan faae frem hvad man vil naar man bruger dem, og det er dem som har gjort saa megen Ulykke og saa mange Paradoxer. Kan det tænkes noget skrækkeligere end at sige at

${\displaystyle 0=1^{n}-2^{n}+3^{n}-4^{n}+etc}$

hvor n er et heelt Tal.

Niels Henrik Abel i brev fra Berlin til Holmboe, januar 1826.^[1]

Interessen for de tilsynelatende meningsløse, divergente rekkene har dreidd seg om muligheten å kunne likevel tilordne en endelig verdi for deres sum. Skal dette ha noen betydning, bør også denne verdien være uavhengig av metoden som benyttes. Mest ønskelig er det å utvikle metoder som kan anvendes på flest mulig forskjellige slike rekker.

Noe av dette kan illustreres ved å betrakte den enkleste og også en av de eldste, divergente rekkene. Dette er Grandi-rekken

${\displaystyle G=1-1+1-1+\cdots }$

Den har delsummer som skifter mellom verdiene 0 og 1 avhengig av hvor mange ledd man tar med. Det er derfor ikke urimelig å ta middelvedien av disse to og derfor si at rekken kan tilordnes summen G = 1/2 hvor likhetstegnet nå står for denne tilordningen.

Man kan også prøve å regne med rekken som om den var konvergent. Da kan man tillate seg å skrive at

${\displaystyle G=1-(1-1+1-1+\cdots )=1-G}$

som betyr at 2G = 1 slik at igjen G = 1/2. Denne verdien blir dermed styrket som den «riktige» summen. Men en slik omgang med en divergent rekke kan også ofte føre til selvmotsigelser. For eksempel, rekken N = 1 + 1 + 1 + .... kan skrives som N = 1 + N  som fører til meningsløsheten 0 = 1.

Allerede på begynnelsen av 1700-tallet hadde Jakob Bernoulli og Leibniz sett en mulig sammenheng mellom divergent rekker og geometriske rekker.^[2] Den uendelige rekken

${\displaystyle S(x)=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots }$

kan summeres med resultatet

${\displaystyle S(x)={1 \over 1+x}}$

når |x | < 1. Denne funksjonen er veldefinert i grensen x → 1 hvor den går mot verdien 1/2. Den uendelige rekken i den samme grensen går over i Grandi-rekken som derved igjen får verdien G = S(1) = 1/2.

Euler arbeidet ut fra overbevisningen om at enhver divergent rekke som kunne forbindes med rekkeutviklingen av en funksjon, kunne tilordnes en veldefinert sum. Ved å gjøre omskrivningen S(x) = 1 - x⋅S(x), kan da resultatet S(x) = 1/(1 + x)  få større gyldighet. Ved her å velge x = 2, fikk han frem den divergente rekken

${\displaystyle S(2)=1-2+4-8+\cdots ={1 \over 1+2}={1 \over 3}}$

På denne måten gjorde en «analytisk utvidelse» av funksjonen til verdier hvor den opprinnelig ikke var definert. Dette ble senere av stor betydning for tilsvarende utvidelser av komplekse funksjoner som Riemanns zetafunksjon.^[3]

Ved å ta den deriverte av funksjonen S(x) fremkommer på samme måte rekken

${\displaystyle {\Big (}-{d \over dx}{\Big )}S(x)=1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={1 \over (1+x)^{2}}}$

Igjen kan man her sette x = 1 som gir den nye, divergente rekken

${\displaystyle A=1-2+3-4+\cdots ={1 \over 4}}$

Dette resultatet for rekken 1 − 2 + 3 − 4 + · · · kan også finnes ved litt mer formelle, men uttrygge manipulasjoner. Legger man to av rekkene sammen og adderer hvert ledd i den ene med det følgende leddet i den andre, får man 2A = 1 - (2 - 1) + (3 - 2) - (4 - 3) + ... = 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2 ved å bruke resultatet for Grandis rekke. Dette gir nå også A = 1/4.

Euler var den første som systematisk arbeidet med de konvergente rekkene som definerer Riemanns zetafunksjon ζ(s) og Dirichlets etafunksjon η(s) for reelle verdier av argumentet s. Mens rekken for den første konvergerer for s > 1, konvergerer etafunksjonen for s > 0. Euler viste hvordan denne funksjonen kunne utvides til å gi mening også for negative argument og dermed benyttes til beregning av en helt ny klasse divergente rekker.

Han tok utgangspunkt i rekken

${\displaystyle F(x)=x-x^{2}+x^{3}-x^{4}+\cdots }$

som er 1 - S(x) og konvergerer for |x | < 1.^[4] I dette området faller den sammen med funksjonen F(x) = x/(1 + x). Når x → 1, gir den resultatet G = 1/2 for Grandis rekke som formelt er verdien av η(0).

En første derivasjon av F(x) gir den nye rekken

${\displaystyle {\Big (}x{d \over dx}{\Big )}F(x)=x-2x^{2}+3x^{3}-4x^{4}+\cdots ={x \over (1+x)^{2}}}$

Ved her igjen å ta grensen x → 1, fremkommer igjen resultatet 1 − 2 + 3 − 4 + · · · = 1/4 = η(-1). Enda en derivasjon gir

${\displaystyle {\Big (}x{d \over dx}{\Big )}^{2}F(x)=x-4x^{2}+9x^{3}-16x^{4}+\cdots =x{1-x \over (1+x)^{3}}}$

som i samme grense gir den divergente rekken

${\displaystyle 1-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots =0}$

som derfor også er verdien for η(-2).

Tilsvarende resultat for enda mer divergente rekker fant Euler ved fortsatt derivasjon. Det generelle resultatet for

${\displaystyle \eta (-m)=1-2^{m}+3^{m}-4^{m}+\cdots }$

finnes etter m derivasjoner. Beregningen forenkles ved å skrive x = e ^-t slik at grensen x → 1 tilsvarer t → 0. Funkjonen F(x) går da over til 1/(e^t + 1) og man har

${\displaystyle \eta (-m)={\Big (}-{d \over dt}{\Big )}^{m}{1 \over e^{t}+1}}$

Denne generelle derivasjonen kan utføres ved å benytte rekkeutviklingen

${\displaystyle {1 \over e^{t}+1}={1 \over 2}+\sum _{n=2}^{\infty }{B_{n} \over n!}(1-2^{n})t^{n-1}}$

som definerer Bernoulli-tallene B_n. For n > 1 er alle de med odde indeks lik med null. Etter derivasjonen settes t = 0  og man står igjen med det generelle resultatet

${\displaystyle \eta (-m)={2^{m+1}-1 \over m+1}B_{m+1}}$

Det er i overensstemmelse med den vanlige sammenhengen

${\displaystyle \eta (-m)=(1-2^{1+m})\zeta (-m)}$

med zetafunksjonen hvor ζ(-m) = - B_{m + 1}/(m + 1)  som følger fra refleksjonsformelen for denne.

For m = 3 har man derfor den divergente rekken

${\displaystyle \eta (-3)=1-2^{3}+3^{3}-4^{3}+\cdots ={15 \over 4}B_{4}=-{1 \over 8}}$

da B₄ = -1/30. Alle slike rekker med liketallspotenser vil være null basert på denne fremgangsmåten.

Dirichlets etafunksjon er endelig i for argumentet s = 1 der zetafunksjonen divergerer som 1/(s - 1). Det følger fra den generelle sammenhengen

${\displaystyle \eta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s)}$

som gir i grensen s → 1 at

${\displaystyle \eta (1)=\lim _{s\rightarrow 1}{\Big (}1-e^{(1-s)\ln 2}{\Big )}{\Big (}{1 \over s-1}+...{\Big )}=(s-1)\ln 2{1 \over s-1}=\ln 2}$

Dermed blir

${\displaystyle \eta (1)=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+\cdots =\ln 2}$

som stemmer med hva man får fra Taylor-rekken for ln(1 + x) når x = 1.

Omtrent 75 år senere ble mange av disse resultatene til Euler kritisert av Abel. Det er derfor ironisk at denne metoden i nyere tid omtales som Abel-summasjon da den er en utvidelse av hans fundamentale arbeid om konvergente rekker.

Euler kunne kun summerer rekker med alternerende fortegn. For eksempel, rekken

${\displaystyle R=1+2+3+4+\cdots }$

er formelt gitt ved grensen til den deriverte 1/(1 + x)²  av S(x) i grensen x → -1. Denne verdien er divergent, og det er nærliggende å konkludere at rekken ikke kan tilordnes noen endelig sum. Alternative metoder som for eksempel Cesàro-summasjon som ble utviklet senere, kan heller ikke brukes på slike rekker.

Men denne situasjonen ble forandret den 31. januar 1913 da den engelske matematiker G.H. Hardy mottok et brev fra den 23 år gamle og totalt ukjente, indiske studenten Srinivasa Aiyangar Ramanujan. Her påstod han at denne divergente rekken har summen^[5]

${\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{1 \over 12}}$

I utgangspunktet er dette et helt meningsløst resultat da addisjon av bare positive tall ikke kan gi et negativt svar, hvis man da ikke på en eller annen måte anser negative tall som enda større enn + ∞. Ikke noe sted har Euler antydet en slik verdi for rekken i sine skrevne verk selv om han sannsynlig hadde sett resultat oppstå i sine beregninger da han gjorde bruk av både det som senere ble kalt zetafunksjon og etafunksjon. Formelt er R = ζ(-1) hvor han visste at ζ(-1) = - η(-1)/3 hvis man anvender den generelle sammenhengen

${\displaystyle \eta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s)}$

mellom funksjonene for s = - 1. Da Euler allerede hadde akseptert at η(-1) = 1/4, ville han da ha funnet ζ(-1) = -1/12.

Etter Ramanujan var død og man gikk gjennom de mange notatbøkene han etterlot seg, ble det funnet en litt annen utledning som også gir dette resultatet. Subtraherer man ledd for ledd i de to rekkene R og A, blir differansen R - A = 4 + 8 + 12 + ... = 4R  slik at 3R = - A. Da A = 1/4, har man dermed igjen at R = - 1/12.

Først i 1977 påpekte Stephen Hawking at slike divergente rekker kan beregnes fra Riemanns zetafunksjon ζ(s) da den er veldefinert i hele det det komplekse planet bortsett fra i punktet s = 1. Spesielt kan den da benyttes for negative verdier av argumentet der ζ(-m) = - B_{m + 1}/(m + 1).^[6] Det betyr generelt at man har

${\displaystyle 1+2^{m}+3^{m}+4^{m}+\cdots =\zeta (-m)=-{B_{m+1} \over m+1}}$

Rekken R til Ramanujan tilsvarer m = 1. Da Bernoulli-tallet B₂ = 1/6, må man ha at R = - 1/12.

Videre kan man da skrive at

${\displaystyle 1+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots =\zeta (-2)=0}$

da B₃ = 0, mens

${\displaystyle 1+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\cdots =\zeta (-3)=-{B_{4} \over 4}={1 \over 120}}$

som følger for m = 3 med B₄ = -1/30. Likedan vil man også ha

${\displaystyle 1+1+1+1+\cdots =-1/2}$

fordi ζ(0) = - 1/2. Den harmoniske rekken vil ikke kunne gjøres endelig med denne metoden da ζ(1) er divergent.

Divergenser ved beregninger i kvantefeltteorien opptrer i mange forskjellige sammenhenger. Der kan man ut fra fysiske argument forstå hvorfor de opptrer, og de er på den måten ikke noe problem. Denne uskadeliggjøringen av divergensene kalles regularisering og resultatet av deres opptreden omtales som renormalisering.

Hele denne prosessen kan illustreres ved Casimir-effekten. Den skyldes fluktuasjoner i energien til et kvantefelt i vakuum.^[7] Da hvert kvant med kvantetall k har energien ħω_k der ħ = h/2π  er den reduserte Planck-konstanten, er denne vakuumenergien gitt ved den uendelige summen

${\displaystyle E_{0}={1 \over 2}\sum _{\mathbf {k} }\hbar \omega _{\mathbf {k} }}$

Hvert ledd er positivt og man forventer et svar som er + ∞. Avhengig av grensebetingelsene til problemet vil kvantetallene k ta forskjellige verdier. For eksempel, hvis man beregner vakuumenergien til det elektromagnetiske feltet mellom to ledende plater, vil summen for E₀ vil noen ganger kunne reduseres til en divergent rekke av typen

${\displaystyle C_{m}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{m}=1+2^{m}+3^{m}+4^{m}+\cdots }$

Denne kan nå behandles på samme måte som for summering med etafunksjonen ved å ta utgangspunkt i rekken

${\displaystyle C(x)=x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\cdots }$

som konvergerer til x/(1 - x) når |x | < 1. Summen C_m kan da finnes ved m derivasjoner av funksjonen C(x) og så ta grensen x → 1. Den divergensen som oppstår, kan isoleres ved igjen å skrive x = e ^-t. Det gir

${\displaystyle C_{m}(t)={\Big (}-{d \over dt}{\Big )}^{m}{1 \over e^{t}-1}}$

som er endelig så lenge t er endelig. Man sier at summen C_m er regulert. Ved å benytte definisjonen

${\displaystyle {t \over e^{t}-1}=1-{t \over 2}+\sum _{n=2}^{\infty }{B_{n} \over n!}t^{n}}$

for Bernoulli-tallene, blir derfor den regulerte summen

${\displaystyle C_{m}(t\rightarrow 0)={\Big (}-{d \over dt}{\Big )}^{m}{\Big (}{1 \over t}{\Big )}-{B_{m+1} \over m+1}}$

Divergensen i grensen t → 0 er nå isolert i kun det første leddet her. Den er gitt som

${\displaystyle C_{m}^{\infty }(t)={\Big (}-{d \over dt}{\Big )}^{m}{\Big (}{1 \over t}{\Big )}={m! \over t^{m+1}}}$

og er alltid positiv slik at disse divergente rekkene virkelig har en verdi som er + ∞ pluss et endelig tall. Men i forbindelse med Casimir-effekten har divergensen også en fysisk betydning. Den representerer vakuumenergien for det vanlig vakuumet uten noen begrensende plater. Da tar kvantetallet n alle positive, reelle verdier slik at den diskrete summen i den divergente rekken C_m må erstattes med integralet

${\displaystyle C_{m}^{\infty }(t)=\int _{0}^{\infty }\!dnn^{m}e^{-nt}={m! \over t^{m+1}}}$

som følger fra gammafunksjonen. Den fysiske verdien av Casimir-effekten er forandringen i vakuumenergi som de to platene forårsaker. Den er gitt ved differansen

${\displaystyle C_{m}^{ren}=C_{m}(t\rightarrow 0)-C_{m}^{\infty }(t)=-{B_{m+1} \over m+1}}$

som gir den renormaliserte vakuumenergien og kan måles i laboratoriet. Beregningen gir en fysisk begrunnelse for metoden med zetafunksjon-summasjon av divergente rekker.

• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

• G.H. Hardy, Divergent Series, Oxford University Press, London (1973). ISBN 0-19-853309-8.

• L. Euler, De Seriebus divergentibus, engelsk oversettelse av originalt arbeid.
• Wolfram Blog, ABCD of divergent series