Harmonisk rekke

Den harmoniske rekken er den uendelige summen 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... som historisk har spilt en viktig rolle i utviklingen av moderne matematikk. Allerede på 1300-tallet viste den franske naturviter og filosof Nicole Oresme at rekken divergerer mot uendelig når flere og flere ledd tas med i summen. Et nærmere studium av denne divergensen ble gjennomført av den sveitsiske matematiker Leonhard Euler omtrent fire hundre år senere. Han undersøkte også forskjellige generaliseringer av rekken som i dag omfattes av spesielle utgaver av Riemanns zeta-funksjon.

I moderne notasjon skrives den harmoniske rekken som

${\displaystyle H_{\infty }=\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {1}{k}}\;\;=\;\;1\,+\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,+\,\cdots .\!}$

Den har fått sitt navn fra den egenskap at hvert ledd er det harmoniske gjennomsnittet av de to naboleddene før og etter leddet under betrakning.

Selv om hvert ledd i den harmoniske rekken blir mindre og mindre, går ikke summen av leddene mot en konstant verdi, men blir stadig større etterhvert som flere ledd blir tatt med. Man sier at summen «divergerer». Nicole Oresme viste dette ved å foreta følgende omskrivning av rekken

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\infty }&=1\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{4}}\;\;+\;\;{\frac {1}{5}}\,+\,{\frac {1}{6}}\,+\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{8}}\;\;+\;\;{\frac {1}{9}}\,+\,\cdots \\&>1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\&=1\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;\cdots \;\;=\;\;\infty \end{aligned}}}$

Selv om rekken derfor divergerer, skjer det veldig langsomt. Summerer man de første million leddene, er ikke summen blitt større enn knapt 15.

Divergensen kan undersøkes nærmere ved å betrakte den partielle summen

${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$

som kalles det n te harmoniske tallet. Fra Oresmes bevis følger at

${\displaystyle \sum _{k=1}^{2^{m}}\,{\frac {1}{k}}\;\geq \;1+{\frac {m}{2}}}$

Da m er lik med binære logaritmen til n, betyr det at de harmoniske tallene H_n  divergerer logaritmisk med indeksen n = 2^m. Siden denne angir antall ledd i rekken, forklarer det hvorfor summen øker så langsomt.

Et mer nøyaktig bilde av divergensen får man ved å betrakte arealet under kurven y = 1/x  fra x = 1 som vist i figuren. Den viser at det er mindre enn summen av arealene til alle rektanglene. Tar man med n slike rektangler i summen, vil derfor

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}>\int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}=\ln(n+1).}$

Summen av den harmoniske rekken divergerer derfor som ln n. Subtraherer man dette leddet fra det harmoniske tallet H_n, finner man at i grensen hvor n blir veldig stor, at differansen

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(H_{n}-\ln n)\equiv \gamma =0.57721\,56649\cdots }$

går mot en endelig verdi som er Euler-Mascheronis konstant γ.

I den tilsvarende, harmoniske rekken med skiftende fortegn,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+\cdots ,}$

vil leddene delvis kansellere hverandre og øke konvergensen. Den uendelige summen blir da endelig og lik med ln 2. Det kan vises ved å for eksempel utvikle funksjon ln(1 + x ) i en Taylor-rekke og så ta verdien av den for x = 1. Tilsvarende Euler produktet med skiftene fortegn (mellom divisjon og multiplikasjon), ser man at

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-{\frac {1}{p_{2n-1}}}}{1-{\frac {1}{p_{2n}}}}}={\frac {1-{\frac {1}{2}}}{1-{\frac {1}{3}}}}\times {\frac {1-{\frac {1}{5}}}{1-{\frac {1}{7}}}}\times \dots =\ln {2}.}$

I 1682 fant den tyske matematiker og filosof Leibniz et endelig resultat for den lignende rekken

${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$.

Ut fra dette kunne man kanskje tro at hvis man valgte å ta med kun bidraget fra primtallene p  i den harmoniske rekken, det vil si summen

${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots ,}$

så ville man få et endelig resultat. Men denne summen er divergent, noe som også ble først påvist av Euler. Han tok det for et nytt bevis for at det er et uendelig antall primtall. Derimot, hvis man kun tar med tvillingprimtall i summen, blir den konvergent med verdien

${\displaystyle B=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\cdots =1,902160583\cdots }$

som kalles Bruns konstant. Dette ble bevist av den norske matematikeren Viggo Brun i 1919.

En numerisk beregning av denne summen på en PC i 1994 avslørte en teknisk feil i den nyeste Pentium-mikroprosessoren. Dette medførte at Intel trakk tilbake denne versjonen og tilbød brukerne gratis en ny, forbedret utgave av prosessoren.

Hvis man erstatter hvert ledd i den harmoniske rekken med sitt eget kvadrat, vil den konvergere mot et endelig resultat. En beregning av dette ble kalt for Basel-problemet og ble kunngjort av Euler i 1735. Han fant

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Dette ble raskt generalisert til alle summer av formen

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$

som også snart lot seg beregne for andre verdier av den variable når bare s > 1. Den divergente, harmoniske rekken tilsvarer s = 1.

Vel hundre år senere viste den tyske matematiker Bernhard Riemann at disse summene kunne betraktes som spesialtilfeller av en generell funksjon av den variable s  som i alminnelighet kan ta komplekse verdier. Dette er Riemanns zetafunksjon som spiller en meget viktig rolle i moderne tallteori. Funksjonen er kun divergent i det ene punktet s = 1 og tar endelig verdier for alle andre verdier av argumentet. For eksempel, så tilsvarer Eulers løsning av Basel-problemet at ζ(2) = π²/6.

Da zeta-funksjonen også eksisterer for negative verdier av argumentet, betyr det at man kan i prinsippet summere divergente rekker. For eksempel, da denne funksjonen har verdien ζ(-1) = -1/12, vil man få

${\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{1 \over 12}}$

Selv om dette resultatet virker tilsynelatende meningsløst, kan det benyttes i praktiske beregninger. I moderne fysikk spiller akkurat denne summen en viktig rolle i strengteori for elementærpartikler.

• J. Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, New Jersey (2003). ISBN 0-69-109983-9.

• Wolfram MathWorld, Harmonic Series.