Gammafunksjon

Gammafunksjonen er en matematisk funksjon av stor betydning i ren matematikk og med mange anvendelser innen teoretisk fysikk. Den er betegnet med en stor, gresk gamma Γ og har den fundamentale egenskapen

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)}$

hvor argumentet z  også kan være et komplekst tall. Når det er et naturlig tall n, faller den sammen med fakultetsfunksjonen, Γ(n + 1) = n ! = 1⋅2⋅3⋅....⋅n.

Leonhard Euler viste rundt 1730 at den analytiske formen av funksjonen kan defineres ved integralet

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }\!dt\,t^{z-1}e^{-t}}$

når realdelen av z er større enn null. Denne definisjonen gjør det mulig å vise at funksjonen eksisterer i hele det komplekse planet hvor den er regulær bortsett fra punktene z = 0, -1, - 2, - 3, etc. hvor den har enkle poler og divergerer.

Denne definisjonen av gammafunksjonen kalles ofte for Eulers andre integral. Hans første integral brukes til definisjon av betafunksjonen som er nært forbundet med gammafunksjonen.

Fra Eulers integral følger at gammafunksjonen har samme, fundamentale egenskap som fakultetsfunksjonen har. Det kan vises ved en delvis integrasjon som gir

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }\!dt\,t^{z}e^{-t}\\&=-t^{z}e^{-t}{\Big |}_{0}^{\infty }+z\int _{0}^{\infty }\!dt\,t^{z-1}e^{-t}.\\\end{aligned}}}$

Her er første ledd på venstre side alltid null så lenge som realdelen til z er et positivt tall, uavhengig hva imaginærdelen er. Det andre leddet inneholder det definerende integralet for gammafunksjone slik at man dermed har bevist det funksjonelle kravet Γ(z + 1) = z Γ(z).

Ut fra dette resultatet kan forskjellige verdier av funksjonen bygges opp hvis en verdi er kjent. Den kan for eksempel velges å være

${\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }\!dt\,e^{-t}=-e^{-t}{\Big |}_{0}^{\infty }=1}$

Herav følger nå at for et positivt heltall n vil funksjonen ta verdien Γ(n) = 1⋅2⋅3⋅...⋅(n - 1) = (n - 1)!. At Γ(1) = 1, tilsvarer at 0! = 1. Formelt har man da også at Γ(1) = 0⋅Γ(0) som betyr at gammafunksjonen for argumentet z = 0  må ha en uendelig stor verdi, det vil si at den divergerer i dette punktet.

Verdier for gammafunksjonen når argumentet er halvtallig, kan bygges opp fra Γ(1/2). Denne verdien er gitt som

${\displaystyle \Gamma (1/2)=\int _{0}^{\infty }\!dt\,t^{-1/2}e^{-t}=2\int _{0}^{\infty }\!dx\,e^{-x^{2}}={\sqrt {\pi }}}$

som fremkommer ved å sette t = x² slik at dt = 2xdx og så benytte verdien for det gaussiske integralet. Fra dette resultatet har man derfor at Γ(3/2) = (1/2)⋅Γ(1/2) = √π /2, mens Γ(-1/2) = - 2√π  som følger fra Γ(1/2) = (-1/2)⋅Γ(-1/2).

Man kan på denne måten utlede verdier for alle halvtallige argument. Resultatet kan sammenfattes i de to formlene

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left(1/2+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left(1/2-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}\\\end{aligned}}}$

hvor n er et positivt heltall. Legg merke til at Γ(1/2 + n)⋅Γ(1/2 - n) = π⋅(-1)ⁿ som er en enkel utgave av Eulers refleksjonsformel.

Det er ikke mulig å finne slike algebraiske resultat for argument med andre brøker. For slike argument må man benytte numeriske metoder, som for eksempel Stirlings formel. Denne er kun gyldig for store verdier av argumentet. Men sammen med egenskapen Γ(z + 1) = z Γ(z) kan man fra slike verdier bygge seg nedover til verdier for mindre argument.

Omtrent på samme tid som Euler fant et integral for fakultetetsfunksjonen, fant James Stirling et algebraisk uttrykk for funksjonen som kan benyttes for store argument. Dette kan skrives som

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}n^{n}e^{-n}}$

Er n > 10, kommer det ledende bidraget fra faktorene nⁿ e^-n som kan mer praktisk beregnes fra logaritmen

${\displaystyle \ln \,n!=n\ln n-n}$

Det er i denne grensen Stirlings formel vanligvis blir anvendt. For eksempel, i statistisk mekanikk er n gitt ved antall partikler i systemet og derfor av orden 10²³  for et makroskopisk system.

Ved bruk av sadelpunktsmetoden kan korreksjoner til formelen beregnes slik at den kan brukes med forbausende god nøyaktighet. helt ned til n = 2. Den tar da formen

${\displaystyle n\,!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}{\Big (}1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}+\cdots {\Big )}}$

Høyere ordens korreksjoner vil ikke nødvendigvis fortsatt gi mer nøyaktige resultat da disse ikke utgjør en konvergent rekke, men er kun asymptotisk konvergerende.

En viktig egenskap ved Stirlings formel i sammenligning med Eulers integral, er at den består av algebraiske ledd som kan benyttes også for argument som ikke er heltallige. Den vil derfor kunne brukes for argument som er relle eller til og med komplekse tall så lenge som disse har en positiv realdel. Men igjen kan man benytte Γ(z + 1) = z Γ(z) når dette ikke er tilfelle.

På begynnelsen av 1700-tallet var det av en viss interesse blant flere matematikere å finne ut hvordan et matematisk uttrykk som i utgangspunktet kun er gyldig for heltallige argument, kan generaliseres til kontinuerlige funksjoner som kan interpolere mellom diskrete verdier. Et enkelt eksempel er en potens aⁿ som er veldefinert for heltallige n, men som det er ønskelig å kunne beregne for brøker og reelle tall.

Den tyske matematiker Christian Goldbach ville gjerne finne ut om dette var mulig for fakultetsfunksjonen. Han henvendte seg til Daniel Bernoulli som arbeidet ved Det russiske vitenskapsakademiet i St. Petersburg og mottok et svar den 6. oktober 1729. Her foreslo Bernoulli i et PS å bruke produktet

${\displaystyle n!={\Big (}A+{n \over 2}{\Big )}^{n-1}{\Big (}{2 \over 1+n}\cdot {3 \over 2+n}\cdot {4 \over 3+n}\cdots {A \over A-1+n}{\Big )}}$

hvor A er et vilkårlig stort tall. Uttrykket inneholder derfor også et like stort antall faktorer. Han illustrerte nøyaktigheten av denne formelen ved å regne ut 3! som han med fant lik med 6 og 1/204 med valget A = 16 . Det må betraktes som et overmåte godt resultat. Derimot fant han for (3/2)! verdien 1.3005 med A = 8, mens den riktige er 1.3293. Gronau har påpekt at dette sannsynligvis skyldes en regnefeil da formelen gir 1.3291.^[1] I brevet ga han ingen forklaring på hvordan han var kommet frem til dette uttrykket. Det var ikke uvanlig på denne tiden å holde sine metoder mer eller mindre hemmelige.

Euler arbeidet på denne tiden også ved akademiet i St. Petersburg og må ha diskutert disse problemstillingene med Bernoulli. Den 13. oktober skriver han til Goldbach om samme sak og foreslår å bruke formelen

${\displaystyle f(n)={1\cdot 2^{n} \over 1+n}\cdot {2^{1-n}\cdot 3^{n} \over 2+n}\cdot {3^{1-n}\cdot 4^{n} \over 3+n}\cdots {N^{1-n}\cdot (N+1)^{n} \over N+n}}$

for n-fakultet hvor N er et stort tall som skal tas mot uendelig. På denne formen er det lettere å ha kontroll med konvergensen til produktet. Men ser man bort fra det og multipliserer faktorene sammen, tar den en litt enklere form

${\displaystyle f(n)={1\cdot 2\cdot 3\cdots N\cdot (N+1)^{n} \over (1+n)\cdot (2+n)\cdot (3+n)\cdots (N+n)}=(N+1)^{n}\prod _{k=1}^{N}{k \over k+n}}$

Dette uttrykket er likt med Bernoullis resultat i denne grensen, men konvergerer langsommere.^[1] Likevel er det herfra at gammafunksjonen tok sin endelige form.

Formelen til Euler oppfyller formelt det viktigste kravet (n + 1)! = (n + 1)⋅n !. Det ser man ved å betrakte

${\displaystyle f(n+1)=(n+1)f(n){N+1 \over N+n+1}}$

Men her er siste faktor lik med 1 i grensen hvor N blir veldig stor slik at det formelle kravet er oppfylt. Likedan ser man at f(0) = 1 og f(1) = 1. Dermed vil f(2) = 2 og så videre når N går mot uendelig. Likeså viktig var det å ha en formel som også kan benyttes når argumentet n ikke er heltallig.

Euler presenterte disse resultatene den 28. november 1729 i et større arbeid De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt (Om transcendentale progresjoner, det vil si slike hvor den generelle termen ikke kan uttrykkes algebraisk) for akademiet i St. Petersburg.^[2] Der viste han også at formelen ville gi riktig verdi for (1/2)!. Det følger direkte fra produktformlen hvor faktorene ordnes slik at deres produkt gjenkjennes,^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}f(1/2)&={N!(N+1)^{1/2} \over (1+1/2)\cdot (2+1/2)\cdots (N+1/2)}\\&=(N+1)^{1/2}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots 2N \over 3\cdot 5\cdot 7\cdots (2N-1)\cdot (2N+1)}={2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots 2N \over 3\cdot 5\cdot 7\cdots (2N-1)\cdot {\sqrt {2N+1}}}\cdot {\sqrt {N+1 \over 2N+1}}\end{aligned}}}$

Den siste kvadratroten her gir 1/√2 i grensen hvor N blir veldig stor, mens det første produktet er ikke noe annet enn kvadratrotroten av π /2 som følger fra Wallis' formel. Derfor gir formelen det ønskede resultatet f(1/2) = (1/2)⋅√π.

I dette store arbeidet fra november, 1729 hadde Euler vist at hans produktformel for fakultetsfunksjonen i grensen N → ∞ kunne skrives om til et kompakt integral,

${\displaystyle n!=\int _{0}^{1}\!ds(-\ln s)^{n}}$

Ved å innføre den nye variable t = - lns i integralet slik at dt = - ds/s, tar det den mer velkjente formen

${\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }\!dt\,t^{n}e^{-t}}$

Dette elegante resultatet beskrev han i et nytt brev til Goldbach i den 8. januar 1730. Den interpolernede formel var ikke lenger algebraisk, men istedet transcendent. I det samme arbeidet hvor han kom frem til denne integralformen, hadde han også undersøkt et annet integral som i ettertid kalles hans betafunksjon.

Navnet gammafunksjon og notasjonen Γ(n + 1) = n ! ble innført rundt 1810 av Legendre. Alternativt foreslo Gauss å betegne funksjonen med symbolet Π(n) = n !. Denne notasjonen slo ikke an, men kan likevel av og til finnes. En grunn for at det ble slik, kan være at symbolet Π er standard for et matematisk produkt. Men i tillegg kan det også skyldes at forholdet mellom disse to store matematikere ikke alltid var like godt.^[4]

For et generelt argument z med en positiv realdel, er gammafunksjonen gitt ved integralet

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }\!dt\,t^{z-1}e^{-t}dt}$

Dette uttrykket er i overensstemmelse med produktformelen. For å se det, kan man bruke uttrykket

${\displaystyle e^{-t}=\lim _{N\to \infty }\left(1-{\frac {t}{N}}\right)^{N}}$

for eksponentialfunksjonen i grensen der tallet N blir uendelig stort. Dermed kan man skrive

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}\!dt\,t^{z-1}\left(1-{\frac {t}{N}}\right)^{N}}$

Ved å utføre N - 1 delvise integrasjoner etter hverandre, gir dette

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\lim _{N\to \infty }{\frac {N}{Nz}}{\frac {N-1}{N(z+1)}}{\frac {N-2}{N(z+2)}}\cdots {\frac {1}{N(z+N-1)}}\int _{0}^{N}\!dt\,t^{z+N-1}\\&=\lim _{N\to \infty }N!N^{z}\prod _{k=0}^{N}{1 \over k+z}=\lim _{N\to \infty }{\frac {N^{z}}{z}}\prod _{k=1}^{N}{\frac {k}{k+z}}\end{aligned}}}$

Da man har at z Γ(z) = Γ(z + 1) = z !, er dette den opprinnelige produktformelen til Euler i grensen hvor N går mot uendelig.

Alternativt kan man se formelen skrevet på formen

${\displaystyle \Gamma (z)={1 \over z}\prod _{k=1}^{\infty }{\Big (}{k \over k+z}{\Big )}{\Big (}{k+1 \over k}{\Big )}^{z}={1 \over z}\prod _{k=1}^{\infty }{(1+1/k)^{z} \over 1+z/k}}$

etter å ha tatt N mot uendelig og benyttet de gjensidige kansellasjonene mellom faktorene i de to brøkene som inngår i produktet. Denne versjonen tilsvarer Eulers aller første definisjon av gammafunksjonen med raskere konvergens.

Senere i sitt vitenskapelige arbeid oppdaget Euler en egenskap ved gammafunksjonen som viste seg å være viktig. Den følger fra hans produktformel og kan anvendes på den spesielle kombinasjonen

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1-z)\Gamma (z)&=(-z)\Gamma (-z)\Gamma (z)=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{z}}N^{z}N^{-z}\prod _{k=1}^{N}{1 \over (1+z/k)(1-z/k)}\\&={1 \over z}\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-z^{2}/k^{2}}}={\pi \over \sin \pi z}\end{aligned}}}$

I det siste leddet i denne utledningen opptrer det uendelige produktet som Euler benyttet i 1735 ved løsningen av Basel-problemet.

Dette elegante resultatet kalles Eulers refleksjonsformel. Navnet er naturlig da den forbinder verdien av gammafunksjonen i et reelt punkt z med verdien i punktet - z som man kan tenke seg fremkommer ved «refleksjon» om den imaginære aksen i det komplekse planet.

En enkel anvendelse av formelen er å ta z = 1/2. Da er 1 - z = 1/2 som sammen med sinπ /2 = 1 gir Γ²(1/2) = π  i overensstemmelse med andre beregningsmetoder.

Mer generelt kan man sette z = 1/2 + x slik at 1 - z = 1/2 - x. Da tar refleksjonsformelen formen

${\displaystyle \Gamma (1/2+x)\Gamma (1/2-x)={\pi \over \sin(\pi /2+\pi x)}={\pi \over \cos \pi x}}$

fordi

${\displaystyle \sin(\pi /2+\pi x)={1 \over 2i}{\Big [}e^{i\pi /2+i\pi x}-e^{-i\pi /2-i\pi x}{\Big ]}={1 \over 2}{\big (}e^{i\pi x}+e^{-i\pi x}{\big )}=\cos \pi x}$

Refleksjonsformelen har mange anvendelser som at den kan benyttes til å beregne størrelsen av gammafunksjonen for komplekse argument z = x + iy. Dette er basert på egenskapen til funksjonen at dens komplekskonjugerte

${\displaystyle \Gamma ^{*}(z)=\Gamma (z^{*})}$

hvor det komplekskonjugerte argument z^* = x - iy. Dette følger fra dens definisjon.

For et rent, imaginært argument z = iy gir formelen

${\displaystyle \Gamma (1-iy)\Gamma (iy)=(-iy)\Gamma (-iy)\Gamma (iy)=(-iy)\Gamma ^{*}(iy)\Gamma (iy)={\pi \over \sin \pi iy}}$

Men nå kan den vanlige sinusfunksjonen for imaginært argument uttrykkes ved en hyperbolsk sinusfunksjon ved at sin iθ = i sinhθ. Dermed har man resultatet

${\displaystyle |\Gamma (iy)|^{2}={\pi \over y\sinh \pi y}}$

Et annet, enkelt eksempel gjelder de spesielle, komplekse argumentene langs linjen z = 1/2 + iy. Da blir 1 - z = 1/2 - iy = z^*. Dermed er

${\displaystyle \Gamma (1/2-iy)\Gamma (1/2+iy)=|\Gamma (1/2+iy)|^{2}={\pi \over \sin(\pi /2+i\pi y)}={\pi \over \cosh \pi y}}$

da cos iπ y = coshπ y.

For et generelt, komplekst argument z = x + iy kan ikke refleksjonsformelen benyttes på noen enkel måte. Derimot kan man gå tilbake til produktformelen som gir

${\displaystyle |\Gamma (x+iy)|^{2}=|\Gamma (x)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+y^{2}/(x+k)^{2}}}}$

hvor det uendelige produktet konvergerer raskt.

Mange av egenskapene til gammafunksjonen ligger skjult i den deriverte Γ'(x) = d Γ/dx. Fra det definerende integralet finner man

${\displaystyle \Gamma '(x)={d \over dx}\int _{0}^{\infty }\!dt\,e^{(x-1)\ln t}e^{-t}=\int _{0}^{\infty }\!dt\,t^{x-1}\ln t\,e^{-t}}$

Spesielt viktig er verdien

${\displaystyle \Gamma '(1)=\int _{0}^{\infty }\!dt\,\ln t\,e^{-t}=-\gamma }$

hvor γ = 0.577215... er Euler-Mascheronis konstant.

I stedet for å arbeide med den deriverte av gammafunksjonen, er det mer vanlig å betrakte den relaterte funksjonen

${\displaystyle \psi (x)={\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}={d \over dx}\ln \Gamma (x)}$

som kalles digammafunksjonen. Da Γ(1) = 1, har man den spesielle verdien ψ(1) = - γ. Generelt kan den beregnes fra

${\displaystyle \psi (x)=-\gamma +\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+1}}-{\frac {1}{k+x}}\right)}$

Når argumentet x er et positivt heltall n, tar den verdier som er harmoniske tall,

${\displaystyle \psi (n)=-\gamma +H_{n-1}}$

Da ψ(1) = - γ, betyr det at det harmoniske tallet H₀ = 0 som kommer i tillegg til den opprinnelige definisjonen av disse. Med H₁ = 1 betyr det at ψ(2) = - γ + 1. Digammafunklsjonen skifter derfor fortegn mellom x = 1 og x = 2 og har et nullpunkt i dette intervallet.

• Fakultetsfunksjon
• Betafunksjon
• Euler-Mascheronis konstant

• M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.
• J. Mathews and R.L. Walker, Mathematical Methods of Physics, W.A. Benjamin, New York (1970). ISBN 0-8053-7002-1.
• M. Abramowitz and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York (1972).
• P.J. Davis, Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function: In Memoriam: Milton Abramowitz Arkivert 8. august 2017 hos Wayback Machine., The American Mathematical Monthly, 66 (10), 849-869 (1959).

• E.W. Weisstein, MathWorld, Gamma Function