Gama funkcia

Gama funkcia (iné názvy: funkcia gama, ${\displaystyle \Gamma }$-funkcia, Eulerov integrál druhého druhu) je zovšeobecnenie faktoriálu na obore komplexných čísiel.

Funkcia faktoriál je pre prirodzené čísla definovaná nasledovným súčinom:

${\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\ldots \times 3\times 2\times 1}$

Gama funkcia nahrádza túto funkciu pre reálne a komplexné čísla:

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z!\,}$

Pretože hodnoty funkcie faktoriál a gama rastú veľmi rýchlo, pri počítaní sa používa prirodzený logaritmus gama funkcie ${\displaystyle ln(\Gamma )}$: hodnoty rastú oveľa pomalšie a pri počítaní dovoľujú sčítavanie a odčítavanie namiesto násobenia a delenia.

Funkciu definovanú pre ${\displaystyle x>0}$ nasledovným predpisom:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\Gamma (x)=\operatorname {\int } \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t\end{array}}}$

nazývame gama funkciou (alebo tiež Eulerovým integrálom druhého druhu).

Tieto vzťahy definujú gama funkciu v oblasti ${\displaystyle {\text{Re}}z>0}$. Gamma funkcia má rozšírenie do komplexnej roviny pomocou analytického predĺženia. Potom je definovaná v každom komplexnom čísle okrem ${\displaystyle \{0,-1,-2,-3,\dots \}}$, kde má póly.

Niektoré dôležité vzťahy, ktoré platia pre gama funkciu:

• ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,}$
• ${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (1-x)={\frac {\pi }{\sin {\pi x}}}\;{\mbox{ pre }}0<x<1}$
• ${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma \left(x+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2x-1}}}\Gamma (2x)}$

Špeciálne pre prirodzené čísla ${\displaystyle n}$ budeme mať:

${\displaystyle \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}}$

• Pre prirodzené čísla ${\displaystyle n}$ platí nasledovné: ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,}$

• ${\displaystyle B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$

• ${\displaystyle \Gamma (x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{x}}{x\;(x+1)\cdots (x+n)}}\,\!}$

Nasledujúca definícia gama funkcie obsahujúca nekonečný súčin platí pre všetky komplexné čísla ${\displaystyle x}$, ktoré nie sú reálne záponé alebo nula.

${\displaystyle \Gamma (x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}\,\!}$

kde ${\displaystyle \gamma }$ je Eulerova-Mascheroniova konštanta^[1] .

V nasledujúcej kapitole sú uvedené niektoré konkrétne hodnoty, ktoré funkcia gama nadobúda:

${\displaystyle \Gamma (-2)\,}$	(nedefinované)
${\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {3}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}\,}$
${\displaystyle \Gamma (-1)\,}$	(nedefinované)
${\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {1}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle =-2{\sqrt {\pi }}\,}$
${\displaystyle \Gamma (0)\,}$	(nedefinované)
${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\sqrt {\pi }}\,}$
${\displaystyle \Gamma (1)\,}$	${\displaystyle =0!=1\,}$
${\displaystyle \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\,}$
${\displaystyle \Gamma (2)\,}$	${\displaystyle =1!=1\,}$
${\displaystyle \Gamma \left({\frac {5}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}\,}$
${\displaystyle \Gamma (3)\,}$	${\displaystyle =2!=2\,}$
${\displaystyle \Gamma \left({\frac {7}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}\,}$
${\displaystyle \Gamma (4)\,}$	${\displaystyle =3!=6\,}$
${\displaystyle \lim _{z\to 0+}\Gamma (z)\,}$	${\displaystyle =+\infty \,}$
${\displaystyle \lim _{z\to +\infty }\Gamma (z)\,}$	${\displaystyle =+\infty \,}$

• BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Gama funkce na českej Wikipédii.