Gauss-integral

Gauss-integralet gir arealet under Gauss-kurven y = e^−x2. I tillegg til å være av betydning i forskjellige deler av matematikken, har det mange anvendelser i sannsynlighetsregning, statistisk mekanikk, kvantemekanikk og kvantefeltteori. Integralet er definert som

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$

og gir opphav til mange andre, relaterte integraler. Dets navn er knyttet til Carl Friedrich Gauss selv om flere andre matematikere som Leonhard Euler, Pierre-Simon Laplace og Siméon Denis Poisson var kjent med det.

Det er ikke mulig å beregne det gaussiske integralet I  direkte fra de vanligste reglene for integrasjon. Men det lar seg gjøre fra det dobbelte integralet

${\displaystyle I_{0}^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy}$

som kan beregnes ved å innføre polarkoordinater x = r cosθ og y = r sinθ. Det gir

${\displaystyle I_{0}^{2}=\int _{0}^{2\pi }\!d\theta \int _{0}^{\infty }\!dr\,re^{-r^{2}}=2\pi \cdot {1 \over 2}=\pi }$

hvor verdien til den radielle integrasjonen følger fra eksponentialfunksjonen ved å innføre t = r² som ny integrasjonsvariabel. Dermed har man verdien I₀ = √π  av Gauss-integralet.

Ved et skifte av integrasjonsvariabel har Gauss-integralet på litt mer generell form verdien

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}}$

Tar man her den deriverte av begge sider med hensyn på parameteren a, finner man at

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}{1 \over 2a}}$

Fortsatte derivasjoner gir verdien av mer kompliserte integral.

En videre generalisering av Gauss-integralet er

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!dx\,e^{-ax^{2}+bx}={\sqrt {\pi \over a}}\;e^{b^{2}/4a}}$

som fremkommer ved å skrive eksponenten som et fullstendig kvadrat,

${\displaystyle ax^{2}-bx=a(x-b/2a)^{2}-{b^{2} \over 4a}}$

og så skifte integrasjonsvariabel til y = x - b/2a.

Ved å bruke t = x² som ny variabel i Gauss-integralet, tar det formen

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=\int _{0}^{\infty }\!dt\,t^{-1/2}e^{-t}=\Gamma (1/2)}$

Det er derfor ekvivalent med den spesielle verdien Γ(1/2) = √π  for gammafunksjonen.

Mer generelle Gauss-integral kan gjøres på samme måte ved bruk av gammafunksjonen. For eksempel,

${\displaystyle I_{2n}=\int _{-\infty }^{\infty }\!dx\,x^{2n}e^{-x^{2}}=\int _{0}^{\infty }\!dt\,t^{n-1/2}e^{-t}=\Gamma (n+1/2)}$

igjen etter substitusjonen x → t = x² slik at dt = 2xdx. For n = 1 gir dette I₂ = Γ(3/2) = Γ(1/2 + 1) = (1/2)⋅Γ(1/2) = √π /2 i overenstemmelse med hva som tidligere ble funnet.

• Normalfordeling
• Gammafunksjon

• T. Lindstrøm, Kalkulus, Universitetsforlaget, Oslo (2016). ISBN 978-82-1502-710-4.
• M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.

• K. Conrad, University of Connecticut, The Gaussian Integral