Afbillen (Mathematik)

In de Mathematik is een Afbillen oer Funktion een Relation tüsken twee Koppels.

Een Afbillen tüsken een Koppel ${\displaystyle A}$ un een Koppel ${\displaystyle B}$ is een Deelkoppel ${\displaystyle f\subseteq A\times B}$ met de dåre Eygenskap:

${\displaystyle \forall a\in A\exists b\in B:(a,b)\in f}$

d.b. för elk ${\displaystyle a\in A}$ is der akkråt een ${\displaystyle b\in B}$ met ${\displaystyle (a,b)\in f}$.

In düssen Fall skrievt wi ${\displaystyle f:A\to B}$, üm antogeven, dat ${\displaystyle f}$ een Afbillen van ${\displaystyle A}$, de Definitionskoppel, nå ${\displaystyle B}$, de Ennkoppel is, un beteekent met ${\displaystyle f(a)}$ för elk ${\displaystyle a\in A}$ dat eendütige Element van ${\displaystyle B}$ met ${\displaystyle (a,f(a))\in f}$.

Is ${\displaystyle f:A\to B}$ een Afbillen, so is ${\displaystyle \{(a,f(a))|a\in A\}}$ de Graph van ${\displaystyle f}$.

Is ${\displaystyle f:A\to B}$ een Afbillen, so defineert me för ${\displaystyle X\subseteq A}$ un ${\displaystyle Y\subseteq B}$ de Koppels

• ${\displaystyle f[X]:=\{f(a)|a\in A\}}$ dat Bild van ${\displaystyle X}$ ünner ${\displaystyle f}$, soas
• ${\displaystyle f^{-1}[Y]:=\{a\in a|f(a)\in Y\}}$ dat Urbild van Y ünner ${\displaystyle f}$.

Een Afbillen ${\displaystyle f:A\to B}$ hait

• injektiv/Injektion, as för alle ${\displaystyle a,a'\in A}$ uut ${\displaystyle a\neq a'}$ ok ${\displaystyle f(a)\neq f(a')}$ folgt, elk ${\displaystyle b\in B}$ düs häuchstens een Urbild häff.
• surjektiv/Surjektion, as der för alle ${\displaystyle b\in B}$ een ${\displaystyle a\in A}$ met ${\displaystyle f(a)=b}$ existeert, elk ${\displaystyle b\in B}$ düs minnstens een Urbild häff.
• bijektiv/Bijektion, as se injektiv un surjektiv is.

Is de Definitionsberiek ${\displaystyle D}$ een Produktkoppel ${\displaystyle D=A\times B}$, so nöömt wi de Afbillen tweestiärig of binär. Analog is een ${\displaystyle n}$-stiärige Relation op een Koppel ${\displaystyle A}$ een Deelkoppel ${\displaystyle R\subset A^{n}}$.

Alle Afbillens van ${\displaystyle A}$ nå ${\displaystyle B}$ billen sülvst de Koppel

${\displaystyle B^{A}:=\{f\in {\mathcal {P}}(A\times B)|\forall a\in A\exists !b\in B:(a,b)\in f\}}$