Grupp (Algeber)

Dëse Mathematiksartikel ass eréischt just eng Skizz. Wann Dir méi iwwer dëst Theema wësst, sidd Dir häerzlech invitéiert, aus dëse puer Sätz e richtegen Artikel ze schreiwen. Wann Dir beim Schreiwen Hëllef braucht, da luusst bis an d'FAQ eran.

Eng Grupp ass an der Algeber eng algebresch Struktur, déi Symmetrien a reversibel Transformatiounen duerstellt.

Definitioun

Eng Grupp ass eng Koppel $(G,*)$ vun engem net eidelen Ensembel $G$ an enger binärer Operatioun $*$ op $G$

*\colon \,{\begin{cases}G\times G&\to &G,\\(a,b)&\mapsto &a*b,\end{cases}}

déi follgend Axiomer erfëllt:

Fir all $a$ , $b$ , $c\in G$ gëllt: $(ab)c=a(bc)$ .^[1]	(Assoziativitéit)
Et gëtt en neutraalt Element $e\in G$ , sou dass fir all $a\in G$ gëllt: $ae=ea=a$ .^[2]	(Existenz vum neutralen Element)
Fir all $a\in G$ existéiert en inverst Element $a^{-1}\in G$ mat $aa^{-1}=a^{-1}a=e$ .^[3]	(Existenz vum inversen Element)

Eng Grupp ass also e Monoid, an deem all Element en Inverse huet.

Abelsch Gruppen

Eng Grupp heescht abelsch oder och kommutativ, wa se zousätzlech zu den uewe genannten Axiomer nach déi follgend Bedéngung erfëllt:

$a$ , $b\in G$ gëllt:
$a*b=b*a$ .

(Kommutativitéit)

Am anere Fall, d.h. wann et Elementer $a$ , $b\in G$ gëtt mat $a*b\neq b*a$ , gëtt d'Grupp net-abelsch respektiv net-kommutativ genannt.

Kuckt och

Notten

↑ Dowéinst kann een d'Klamere fortloossen: $a*b*c:=(a*b)*c$ .
↑ Dat neutraalt Element ass automatesch eendeiteg, well wann $f$ en neutraalt Element ass, da gëllt $f=f*e=e.$
↑ Den Inverse ass och eendeiteg, well wa $b$ en Inverse vun $a$ ass, dann ass $b=b*e=b*(a*a^{-1})=(b*a)*a^{-1}=e*a^{-1}=a^{-1}.$

[1] Dowéinst kann een d'Klamere fortloossen: $a*b*c:=(a*b)*c$ .

[2] Dat neutraalt Element ass automatesch eendeiteg, well wann $f$ en neutraalt Element ass, da gëllt $f=f*e=e.$

[3] Den Inverse ass och eendeiteg, well wa $b$ en Inverse vun $a$ ass, dann ass $b=b*e=b*(a*a^{-1})=(b*a)*a^{-1}=e*a^{-1}=a^{-1}.$

[1]

[2]

[3]