Caterva (mathematica)
Caterva (aut gruppus aut grex)[1] est structura algebraica abstracta: est copia cum operatione inter bina copiae elementa invertibili et associativa. Unum catervae elementum est idemfactor, hoc est, operatio inter idemfactorem et quodlibet aliud elementum hoc elementum facit. Esto e idemfactor et a aliud elementum; deinde e + a = a. Caterva clauditur sub operatione; hoc est, si a et b sunt elementa catervae, deinde a + b est elementum. Theoria catervarum est pars mathematicae quae de catervis tractat.
Caterva Abeliana est caterva cuius operatio commutativa sit; hoc est, si a et b sunt elementa catervae, deinde a + b = b + a. Nomen honorem dat Niels Henrik Abel, mathematicus norvegius.
Evaristus Galois francogallus primus nomen "catervam" dedit his structuris corporis.
Definitio
[recensere | fontem recensere]Caterva est copia cum operatione inter bina elementa eius. Haec operatio quoque haec axiomata habet:
Clausitas
[recensere | fontem recensere]Pro omnia elementa in caterva, quoque in caterva est.
Pro omnia elementa in caterva, haec identitas est apta: .
Elementum Idemfactor
[recensere | fontem recensere]Est elementum catervae, "idemfactor" vocatur (et saepe scribitur), quod omnia alia elementa catervae sub operatione non mutat. In alia verba, haec identitas est apta:
Elementum Inversum
[recensere | fontem recensere]Pro omnia elementa in caterva, est alium elementum, , cum ita sit
Caterva numerorum
[recensere | fontem recensere]Numeri integri, cum additione, sunt caterva Abeliana. Nam si a et b sunt integri, a + b quoque integer est; 0 est idemfactor; et -a est elementum inversum elementi a.
Caterva matricum, vel caterva linearis
[recensere | fontem recensere]Matrices quadratae, eaedem magnitudinis, cum additione, sunt caterva Abeliana. Matrices quadratae, eaedem magnitudinis, quae inversas habent, sunt caterva sub operatione multiplicatione, sed haec non est caterva Abeliana: A × B ≠ B × A.
Caterva symmetrica
[recensere | fontem recensere]Transformationes figurae quaedam in plano, ut rotatio et reflectio, symmetriae dictae, catervam faciunt. Operatio catervae est compositio: hoc est, si a et b sunt transformationes, a + b est transformatio nova ubi facimus b, dein a. Operatio non est commutativa.
Si figura est quadrata, nomen huius catervae est caterva dihedralis. Haec sunt elementa:
Notae
[recensere | fontem recensere]Bibliographia
[recensere | fontem recensere]- Saunders MacLane and Garret Birkhoff, Algebra. New York: Macmillan, 1979.
- David S. Dummit and Richard S. Foote, Abstract Algebra, 3rd edition. Wiley and Sons Inc., 2004.