Grúpa (matamaitic)

Sa mhatamaitic, is réad bunúsach san ailgéabar teibí é an grúpa. Tá sé níos simplí ná an fáinne, ach tá níos mó chómhdhéanamh ann na atá sa tacar. Níl ach eilimintí i dtacar, ach tá eilimintí agus oibríocht (mar shampla an suimiú nó an iolrú) i ngrúpa.

Is grúpa é ${\displaystyle (G,*)}$, tacar eilimintí ${\displaystyle G}$ faoin oibríocht ${\displaystyle *}$, má:

1. tá ${\displaystyle G}$ iata faoi ${\displaystyle *}$, is é sin ${\displaystyle a*b\in G}$ do gach ${\displaystyle a,b\in G}$;
2. tá an oibríocht ${\displaystyle *}$ comhthiomsaitheach thar ${\displaystyle G}$, is é sin ${\displaystyle a*(b*c)=(a*b)*c}$ do gach ${\displaystyle a,b,c\in G}$;
3. tá eilimint céannachta ${\displaystyle e\in G}$ ionas gur ${\displaystyle a*e=e*a=a}$ do gach ${\displaystyle a\in G}$;
4. tá inbhéarta ${\displaystyle a^{-1}}$ ag gach ${\displaystyle a\in G}$, ionas gur ${\displaystyle a*a^{-1}=a^{-1}*a=e}$.

Má tá an oibríocht ${\displaystyle *}$ cómhalartach freisin, is é sin ${\displaystyle a*b=b*a}$ do gach ${\displaystyle a,b\in G}$, is grúpa aibéalach an grúpa.

Sampla amháin de ghrúpa is ea ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+),}$ na slánuimhreacha faoi shuimiú. Tá sé iata faoi ${\displaystyle +}$ mar tá suim dhá slánuimhreacha ina slánuimhir. Is é an uimhir ${\displaystyle 0}$ an eilimint céannacht sa grúpa ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ mar tá ${\displaystyle n+0=n}$ do gach ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$. Agus is é ${\displaystyle -n}$ an inbhéartha ag ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, mar tá ${\displaystyle n+(-n)=0}$. Agus tá an suimiú comhthiomsaitheach thar ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Sampla eile is ea ${\displaystyle (\{1,i,-1,-i\},\times )}$ faoi iolrú, áit a bhfuil ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}\in \mathbb {C} }$ (na huimhreacha coimpléascacha). Is é ${\displaystyle 1}$ an eilimint céannacht ann.

Sampla eile fós is ea na rothluithe thart ar chomhphointe, nuair is é ${\displaystyle *}$ rothlú amháin ar dtús is ansin rothlú eile. Déantar staidéar ar airíonna grúpaí le grúptheoiric.^[1]

Tá an t-alt seo bunaithe ar ábhar as Fréamh an Eolais, ciclipéid eolaíochta agus teicneolaíochta leis an Ollamh Matthew Hussey, foilsithe ag Coiscéim sa bhliain 2011. Tá comhluadar na Vicipéide go mór faoi chomaoin acu beirt as ucht cead a thabhairt an t-ábhar ón leabhar a roinnt linn go léir.

Is síol a bhaineann leis an matamaitic é an t-alt seo. Cuir leis, chun cuidiú leis an Vicipéid. Má tá alt níos forbartha le fáil i dteanga eile, is féidir leat aistriúchán Gaeilge a dhéanamh.