Limite di funzioni a più variabili

In analisi matematica, il limite di funzioni a più variabili è un caso particolare del concetto generale di limite di una funzione, applicato a funzioni del tipo:

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{m}}$

dove ${\displaystyle X}$ è un sottoinsieme dello spazio euclideo ${\displaystyle n}$-dimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Il limite di una funzione a più variabili è spesso calcolato con criteri ad hoc e presenta aspetti specifici, non presenti per una funzione qualsiasi.

La definizione di limite per una funzione a più variabili segue da quella più generale per funzioni fra spazi metrici. In particolare, una funzione ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{m}}$ definita su un insieme ${\displaystyle X}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ha limite ${\displaystyle l}$ in un punto di accumulazione ${\displaystyle x_{0}}$ per ${\displaystyle X}$ se per ogni numero reale ${\displaystyle \epsilon >0}$ esiste un numero reale ${\displaystyle \delta >0}$ tale che:

${\displaystyle \|f(x)-l\|<\epsilon }$ per ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$ con ${\displaystyle 0<\|x-x_{0}\|<\delta }$.

La definizione fa uso della norma per vettori in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e di una notazione vettoriale compatta per il punto ${\displaystyle x}$. Se esiste il limite ${\displaystyle l}$, questo è unico per il teorema di unicità del limite, e si indica ugualmente con:

${\displaystyle l=\lim _{x\to x_{0}}f(x)}$

In due variabili si possono ancora scrivere tutte le componenti senza creare una notazione troppo pesante e quindi si troverà scritto, per un limite in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$:

${\displaystyle l=\lim _{(x,y)\to (x_{0},y_{0})}f(x,y)}$

Può risultare utile scrivere le componenti ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots f_{m}}$ della funzione ${\displaystyle f}$ e notare che la nozione:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l}$

è equivalente a:

${\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {x_{0}} }f_{1}(\mathbf {x} )=l_{1}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {x_{0}} }f_{m}(\mathbf {x} )=l_{m}}$

dove ${\displaystyle l=(l_{1},\ldots ,l_{m})}$.

Il limite seguente non esiste:

${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$

Infatti si ottengono valori diversi del limite avvicinandosi al punto ${\displaystyle (0,0)}$ da direzioni diverse. Ponendo ${\displaystyle y=0}$ e calcolando il limite destro, si ottiene:

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+0^{2}}}}=1}$

Mentre sulla retta ${\displaystyle x=0}$ si ricava:

${\displaystyle \lim _{y\to 0}{\frac {0}{\sqrt {0^{2}+y^{2}}}}=0}$

Nel caso in più variabili la "direzione", ovvero la curva lungo la quale si calcola un limite è di fondamentale importanza: se una funzione ha limite nel punto, questo non deve dipendere dalla "direzione scelta".

Per calcolare il limite di una funzione di due variabili ${\displaystyle z=f(x,y)}$ in un punto ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$, un primo metodo consiste nel fare un cambiamento di variabili in coordinate polari:

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+\rho \cos \theta \\y=y_{0}+\rho \sin \theta \end{cases}}}$

e si compone la funzione:

${\displaystyle f(x,y)=F(x_{0}+\rho cos\theta ,y_{0}+\rho \sin \theta )}$

Inoltre vale il teorema:

${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (x_{0},y_{0})}f(x,y)=\lim _{\rho \to 0}F(x_{0}+\rho \cos \theta ,y_{0}+\rho \sin \theta )=L}$

in modo però uniforme rispetto a ${\displaystyle \theta }$, cioè l'ampiezza dell'intervallo di ${\displaystyle \rho }$ tale che le immagini siano tutte contenute in un qualsiasi intorno dello 0 deve essere indipendente da ${\displaystyle \theta }$.

Un altro metodo invece è quello di calcolare il limite secondo le diverse curve passanti per ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$, cioè, all'avvicinarsi a ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$, secondo diverse direzioni:

${\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}}$

componendo la funzione ${\displaystyle f(x,y)=F[x(t),y(t)]}$

${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}F[x(t),y(t)]=L}$

dove ${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(x(t_{0}),y(t_{0}))}$.

In generale, con quest'ultimo metodo è estremamente difficile calcolare il limite, poiché si dovrebbe calcolarlo per tutte le infinite direzioni che avvicinano ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$; perciò il metodo è utile per negare l'esistenza di un ipotetico limite (come fatto nell'esempio precedente), usando il teorema delle restrizioni.

• David M. Burton, The history of mathematics: an introduction, 3ª ed., McGraw-Hill, 1997, pp. 558-559, ISBN 0-07-009465-9, OCLC 36468632. URL consultato il 20 giugno 2022.
• (EN) Walter Felscher, Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta, in The American Mathematical Monthly, vol. 107, n. 9, 2000-11, pp. 844–862, DOI:10.1080/00029890.2000.12005282. URL consultato il 20 giugno 2022.
• Judith V. Grabiner, Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus, in The American Mathematical Monthly, vol. 90, n. 3, 1983-03, pp. 185, DOI:10.2307/2975545. URL consultato il 20 giugno 2022.

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