Teorema di Lagrange

In analisi matematica il teorema di Lagrange (o del valor medio o dell'incremento finito) è un risultato che si applica a funzioni di variabile reale e afferma, dal punto di vista geometrico, che dato il grafico di una funzione tra due estremi, esiste almeno un punto in cui la tangente al grafico è parallela alla secante passante per gli estremi.

Questo teorema è usato per provare delle proprietà di una funzione in un intervallo partendo da ipotesi locali sulle derivate nei punti di tale intervallo. È uno dei più importanti risultati dell'analisi matematica.

Un caso speciale di questo teorema fu inizialmente descritto da Parameshvara (1370–1460), dalla Scuola del Kerala in India, nei suoi commenti su Govindasvāmi e Bhāskara II.^[1] Una forma ristretta del teorema fu poi provata da Rolle nel 1691; il suo risultato fu quello che ora è conosciuto come teorema di Rolle, e fu provato solo per polinomi, senza nessuna tecnica di analisi. Il teorema del valor medio nella sua forma moderna fu formulato e dimostrato da Cauchy nel 1823.^[2]

Sia ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ una funzione continua nell'intervallo chiuso ${\displaystyle [a,b]}$ e derivabile nell'intervallo aperto ${\displaystyle (a,b)}$. Allora esiste almeno un punto ${\displaystyle c\in (a,b)}$:

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$^[3]

Supponiamo di avere una funzione ${\displaystyle f}$ di variabile reale a valori reali definita nell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$, come nell'immagine. Supponiamo che essa sia continua e che in ogni punto del suo grafico, esclusi ${\displaystyle (a,f(a))}$ e ${\displaystyle (b,f(b)),}$ sia ben definita la retta tangente, quest'ultima non parallela all'asse delle ordinate (supponiamo cioè che la funzione ${\displaystyle f}$ sia derivabile in ${\displaystyle (a,b)}$). Tracciamo la retta secante il grafico della funzione, passante per i punti ${\displaystyle (a,f(a))}$ e ${\displaystyle (b,f(b))}$.

Il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità sopra enunciate esiste almeno un punto ${\displaystyle c\in (a,b)}$, come nell'esempio, tale che la tangente al grafico di ${\displaystyle f}$ nel punto ${\displaystyle (c,f(c))}$ abbia la stessa pendenza della retta passante per i punti ${\displaystyle (a,f(a))}$ e ${\displaystyle (b,f(b))}$.

• Il teorema di Lagrange può anche essere considerato un caso particolare del teorema di Cauchy.

Sia ${\displaystyle g}$ la funzione identità (cioè ${\displaystyle g(x)=x}$, per ogni ${\displaystyle x}$). Applichiamo il teorema di Cauchy a ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle g(x)}$:

${\displaystyle \exists c\in (a,b):{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Poiché ${\displaystyle g'(x)=1}$ per ogni ${\displaystyle x\in (a,b)}$, si ha che ${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

• Il teorema di Lagrange è inoltre una generalizzazione del teorema di Rolle.

Sia ${\displaystyle f}$ una funzione continua nell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$, derivabile in ${\displaystyle (a,b)}$ e tale che ${\displaystyle f(a)=f(b)}$. Applicando il teorema di Lagrange si ha che

${\displaystyle \exists c\in (a,b):f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0.}$

• Da notare che il teorema, come enunciato, è falso se una funzione derivabile è a valori complessi invece che reali. Per esempio, si definisce ${\displaystyle f(x)=e^{xi}}$ per tutti gli ${\displaystyle x}$ reali. In tal caso

${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0),}$

mentre ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$ per ogni ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

È possibile dimostrare l'asserto mediante un'applicazione del teorema di Rolle.

Sia ${\displaystyle g}$ la seguente funzione ausiliare:

${\displaystyle g(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).}$

Si tratta della retta passante per i punti ${\displaystyle (a,f(a))}$ e ${\displaystyle (b,f(b))}$ della figura.

Sia ora ${\displaystyle h}$ la differenza tra le due funzioni ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$:

${\displaystyle h(x)=(f-g)(x)=f(x)-g(x).}$

Si verifica immediatamente che

${\displaystyle h(a)=f(a)-g(a)=0,\qquad h(b)=f(b)-g(b)=0.}$

La funzione ${\displaystyle h}$ è continua perché somma di funzioni continue (una per ipotesi e una perché è un polinomio di primo grado); inoltre è derivabile perché somma di funzioni derivabili (la prima per ipotesi, la seconda in quanto polinomio di primo grado).

Per il teorema di Rolle, se una funzione è continua in un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$, derivabile nell'intervallo aperto ${\displaystyle (a,b)}$ e assume valori uguali agli estremi dell'intervallo, esiste almeno un punto ${\displaystyle c\in (a,b)}$ in cui la sua derivata sia ${\displaystyle 0}$.

Applichiamo quindi il teorema di Rolle alla funzione ${\displaystyle h}$, dal momento che ne soddisfa tutte le ipotesi:

${\displaystyle \exists c\in (a,b)\mid h'(c)=0.}$

Segue che

${\displaystyle h'(c)=f'(c)-g'(c)=0.}$

Ora si osserva che

${\displaystyle g'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Quindi

${\displaystyle f'(c)=g'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

e il teorema è così dimostrato.

Il teorema rimane valido considerando funzioni definite in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Sia ${\displaystyle f}$ una funzione reale differenziabile su un aperto ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, siano ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$ due punti di ${\displaystyle U}$ tali che il segmento ${\displaystyle [\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]=\{t\mathbf {x} +(1-t)\mathbf {y} :t\in [0,1]\}\subseteq U,}$

allora esiste ${\displaystyle \mathbf {\xi } \in [\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]}$ tale che

${\displaystyle f(\mathbf {y} )-f(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {D} f(\mathbf {\xi } ),(\mathbf {y} -\mathbf {x} )\mathbf {\rangle } ,}$

dove con ${\displaystyle \mathbf {D} f}$ indichiamo il gradiente di ${\displaystyle f.}$

Per la dimostrazione è sufficiente considerare la funzione

${\displaystyle \varphi (t)=f(\mathbf {x} +t(\mathbf {y} -\mathbf {x} ))}$ con ${\displaystyle t\in [0,1]}$

derivabile sull'intervallo unitario perché composizione di due funzioni derivabili.

Il teorema non è più valido in questa forma per le funzioni a valori in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$. Infatti sebbene applicabile a ogni singola componente, non è possibile garantire che ciascuna delle uguaglianze del teorema si verifichi contemporaneamente per lo stesso valore della variabile indipendente. In questo caso il teorema è valido se si accetta la seguente formulazione:

Sia ${\displaystyle f}$ una funzione reale derivabile su un aperto ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$, contenente il segmento ${\displaystyle [\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]}$, allora:

${\displaystyle \|f(\mathbf {y} )-f(\mathbf {x} )\|\leq \sup _{\mathbf {\mathbf {\xi } } \in U}\left\|\mathbf {D} f(\mathbf {\xi } )\right\|\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|.}$

Sia ${\displaystyle f}$ una funzione continua e derivabile definita in un intervallo ${\displaystyle I}$, sia ${\displaystyle f'}$ la derivata di ${\displaystyle f}$. Se ${\displaystyle f'(x)=0}$ per ogni ${\displaystyle x}$ interno ad ${\displaystyle I}$, allora ${\displaystyle f}$ è costante in tale intervallo, cioè:

${\displaystyle f(x)=k,\quad \forall x\in I.}$

Prendiamo due punti distinti, ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ appartenenti all'intervallo ${\displaystyle I}$.

Possiamo applicare il teorema di Lagrange all'intervallo ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$ ottenendo che

${\displaystyle \exists c\in (\alpha ,\beta ):{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=f^{\prime }(c).}$

Dato che per ipotesi ${\displaystyle f'(x)=0}$ per ogni ${\displaystyle x}$, ne segue che

${\displaystyle {\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=0}$

e quindi

${\displaystyle f(\beta )=f(\alpha ).}$

Visto che ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ sono due punti arbitrari dell'intervallo, questo vale per ogni coppia di punti e quindi ${\displaystyle f(x)=k}$ per ogni ${\displaystyle x\in I}$ (cioè ${\displaystyle f(x)}$ è costante nell'intervallo).

Siano ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ due funzioni derivabili in un intervallo ${\displaystyle I}$ e sia ${\displaystyle f'(x)=g'(x)}$ per ogni ${\displaystyle x\in I}$. Allora le due funzioni differiscono per una costante ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, cioè

${\displaystyle f(x)=g(x)+c,\quad \forall x\in I.}$

Si prenda ${\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)}$. Per ipotesi si ha ${\displaystyle h'(x)=f'(x)-g'(x)=0}$ per ogni ${\displaystyle x\in I}$. Allora per il corollario precedente sulle funzioni a derivata nulla, la funzione ${\displaystyle h(x)}$ è costante nell'intervallo ${\displaystyle I}$, cioè ${\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)=c}$ per un determinato ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, e quindi

${\displaystyle f(x)=g(x)+c,\quad \forall x\in I.}$

Il teorema di Lagrange ci permette di stabilire la monotonia di una funzione derivabile in un certo intervallo, in base al segno della derivata.

Sia ${\displaystyle f}$ una funzione derivabile in ${\displaystyle I}$. Se ${\displaystyle f'(x)\geq 0}$, ${\displaystyle \forall x\in I}$, allora per ogni ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in I}$, con ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$, si ha che ${\displaystyle f(x_{1})\leq f(x_{2})}$.

Prendiamo due generici punti ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}}$ appartenenti all'intervallo ${\displaystyle I}$, con ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$.

Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua, possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange a ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$ ottenendo che

${\displaystyle \exists c\in (x_{1},x_{2}):{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=f^{\prime }(c).}$

Dato che ${\displaystyle f'(x)\geq 0}$ per ogni ${\displaystyle x\in I}$ si ha che

${\displaystyle {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\geq 0.}$

Ora, dato che ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$, per essere vera la formula appena scritta deve essere ${\displaystyle f(x_{1})\leq f(x_{2})}$ e visto che questo vale per ogni coppia di punti appartenenti a ${\displaystyle I}$, possiamo concludere che la funzione è monotona crescente nell'intervallo.

Sia ${\displaystyle f'(x)>0}$ per ogni ${\displaystyle x}$ appartenente all'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$. Allora per ogni ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ appartenenti all'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ con ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ si ha che ${\displaystyle f(x_{1})<f(x_{2})}$.

Prendiamo due generici punti ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ appartenenti all'intervallo chiuso ${\displaystyle [a,b]}$ con ${\displaystyle \alpha <\beta }$.

Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua, possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange a un intervallo avente come estremi ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ ottenendo che

${\displaystyle \exists c\in (\alpha ,\beta ):{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=f'(c).}$

Dato che ${\displaystyle f'(x)>0}$ per ogni ${\displaystyle x}$ si ha che

${\displaystyle {\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}>0.}$

Ora dato che ${\displaystyle \alpha <\beta }$ per essere vera la formula appena scritta deve essere ${\displaystyle f(\alpha )<f(\beta )}$ e visto che questo vale per ogni ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ appartenenti ad ${\displaystyle [a,b]}$ possiamo concludere che la funzione è monotona crescente.

Le relative proprietà sono inverse rispetto a quelle ottenute ai due punti precedenti e si ottengono semplicemente invertendo i segni delle diseguaglianze.

Se ${\displaystyle f}$ è una funzione continua e derivabile nell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ e la sua derivata prima ${\displaystyle f'}$ è limitata in ${\displaystyle [a,b]}$, ossia esiste ${\displaystyle k>0:|f'(x)|\leq k}$, si ha che ${\displaystyle f}$ è lipschitziana su ${\displaystyle [a,b]}$.

Consideriamo due generici punti ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ appartenenti all'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ tali che ${\displaystyle \alpha <\beta }$.

Dal momento che l'ipotesi ci garantisce che la funzione sia derivabile in tutti i punti dell'intervallo, cosa che ci garantisce anche la continuità, possiamo applicare il teorema di Lagrange a un intervallo avente come estremi i due punti di prima, ottenendo che

${\displaystyle \exists c\in (\alpha ,\beta ):{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=f'(c).}$

Adesso uniamo questa informazione alla limitatezza della derivata, dataci per ipotesi, dunque possiamo scrivere:

${\displaystyle \left|{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}\right|\leq k.}$

Ma siccome i punti possiamo sceglierli a nostro completo arbitrio tra tutti quelli presenti nell'intervallo, allora la pendenza della funzione risulterà limitata, e quindi la funzione soddisferà la condizione di Lipschitz.

• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998, paragrafo 61.
• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.

• Derivata
• Teorema di Rolle
• Teorema di Cauchy (analisi matematica)

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul teorema di Lagrange

• (EN) mean-value theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Mean-Value Theorem, su MathWorld, Wolfram Research.

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