Teorema di unicità del limite

Il teorema di unicità del limite è un teorema di matematica, e più precisamente di analisi. Assume forme diverse a seconda dei contesti, ed in ciascuno di questi afferma che non possono esserci due limiti distinti. Si applica soprattutto a successioni e funzioni.

Il teorema di unicità del limite per le successioni asserisce che

In altre parole, se la successione ha un limite, questo è unico.^[1]

Supponiamo che ${\displaystyle l_{1},l_{2}}$ siano limiti (finiti; in verità, si può facilmente eliminare tale restrizione) della successione ${\displaystyle \{a_{n}\}}$. Mostreremo che ${\displaystyle l_{1}=l_{2}}$.

Per la definizione di limite, per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esistono ${\displaystyle N_{1}}$ ed ${\displaystyle N_{2}}$ tali che per ogni ${\displaystyle i>N_{1}}$ è vera ${\displaystyle |a_{i}-l_{1}|<\varepsilon }$, e per ogni ${\displaystyle i>N_{2}}$ è vera ${\displaystyle |a_{i}-l_{2}|<\varepsilon }$ . Sia ${\displaystyle N}$ il massimo tra ${\displaystyle N_{1}}$ e ${\displaystyle N_{2}}$. Allora per ogni ${\displaystyle i>N}$ abbiamo

${\displaystyle |l_{1}-l_{2}|\leq |l_{1}-a_{i}|+|a_{i}-l_{2}|<2\varepsilon }$

per la disuguaglianza triangolare. Quindi ${\displaystyle |l_{1}-l_{2}|<2\varepsilon }$ per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$, e quindi ${\displaystyle |l_{1}-l_{2}|=0}$. Quindi ${\displaystyle l_{1}=l_{2}}$.

Il teorema vale (con analoga dimostrazione) anche per qualsiasi successione di punti in uno spazio metrico. Più in generale, vale in qualsiasi spazio topologico di Hausdorff.

Il teorema di unicità del limite per le funzioni asserisce che

In altre parole, se la funzione ha limite in ${\displaystyle x_{0}}$, questo è unico.^[2]

Supponiamo che ${\displaystyle l_{1},l_{2}}$ siano limiti della funzione in ${\displaystyle x_{0}}$. Mostreremo che ${\displaystyle l_{1}=l_{2}}$, ragionando per assurdo e supponendo quindi che ${\displaystyle l_{1}}$ e ${\displaystyle l_{2}}$ siano distinti. Allora esistono due intorni ${\displaystyle V_{1}}$ di ${\displaystyle l_{1}}$ e ${\displaystyle V_{2}}$ di ${\displaystyle l_{2}}$ disgiunti.

Per definizione di limite, esistono due intorni ${\displaystyle U_{1}}$ e ${\displaystyle U_{2}}$ di ${\displaystyle x_{0}}$ per cui vale:

${\displaystyle f(x)}$ appartiene a ${\displaystyle V_{1}}$ per ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle U_{1}\cap X}$ diverso da ${\displaystyle x_{0}}$,

${\displaystyle f(x)}$ appartiene a ${\displaystyle V_{2}}$ per ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle U_{2}\cap X}$ diverso da ${\displaystyle x_{0}}$.

L'insieme ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$ è un altro intorno di ${\displaystyle x_{0}}$, quindi contiene un punto ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle X}$ diverso da ${\displaystyle x_{0}}$ perché ${\displaystyle x_{0}}$ è punto di accumulazione per ${\displaystyle X}$. Per questo punto, ${\displaystyle f(x)}$ è contemporaneamente in ${\displaystyle V_{1}}$ e ${\displaystyle V_{2}}$, che però sono disgiunti: questo è assurdo.

Il teorema vale (con analoga dimostrazione) anche per qualsiasi funzione ${\displaystyle f:X\to Y}$ fra spazi metrici, come ad esempio lo spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ o un qualsiasi suo sottoinsieme. Più in generale, vale per funzioni fra spazi topologici, con l'ipotesi che il codominio ${\displaystyle Y}$ sia di Hausdorff.

L'ipotesi nell'enunciato generale che il codominio sia uno spazio di Hausdorff (come ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ con l'usuale topologia euclidea) è la chiave di tutto il teorema. Infatti in uno spazio non di Hausdorff in generale non vale l'unicità del limite. Basti vedere quest'esempio:

Sia ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ con la topologia euclidea, mentre ${\displaystyle Y=(\mathbb {R} ,\mathrm {T} )}$ con la topologia della semicontinuità inferiore, cioè i cui aperti sono le semirette destre; sia ${\displaystyle f:X\to Y,f(x)=x^{2}}$. Allora la funzione ammette infiniti limiti, in particolare:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=a}$, per ogni ${\displaystyle a\leq 0}$.

Infatti, scelto un qualsiasi ${\displaystyle a\leq 0}$, i suoi intorni sono gli insiemi del tipo ${\displaystyle [a-r,+\infty )}$, con ${\displaystyle r}$ > 0, dunque essi contengono l'immagine di un qualsiasi intorno dello 0 dato secondo la topologia euclidea, cioè degli intervalli ${\displaystyle [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$, restringendo opportunamente il raggio ${\displaystyle \varepsilon }$.

• Carla Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4.
• Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0.

• unicita del limite, teorema di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

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