Puissance extérieure

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En pratique : Quelles sources sont attendues ? Comment ajouter mes sources ?

La puissance extérieure p-ième d'un module E (sur un anneau commutatif) est une construction en algèbre extérieure qui est une solution au problème suivant : existe-t-il un module M, le « plus petit » possible et une application canonique φ : E^p → M telle que pour toute application multilinéaire alternée f définie sur E^p à valeur dans un module F quelconque, il existe une unique application g linéaire définie sur M à valeurs dans F telle que ${\displaystyle f=g\circ \varphi }$ ?

On considère le produit tensoriel :

${\displaystyle {\begin{matrix}N=\bigotimes ^{p}E&=&\underbrace {E\otimes _{A}\cdots \otimes _{A}E} \\&&p\end{matrix}}}$

On sait que toute application multilinéaire ${\displaystyle f:E^{p}\to F}$ est en correspondance avec une application linéaire ${\displaystyle h:N\to F}$ telle que :

${\displaystyle \forall (x_{1},\dots ,x_{p})\in E^{p},f(x_{1},\dots ,x_{p})=h(x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{p})}$

Comme f est alternée, l'application h s'annule en tous les tenseurs décomposables ${\displaystyle x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{p}}$ tels qu'il existe ${\displaystyle i,j}$ deux indices différents vérifiant ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$. Considérons le sous-module C de N engendré par les tenseurs de cette forme. Comme C est incluse dans le noyau de h, il existe une unique application multilinéaire g du module quotient N/C telle que :

${\displaystyle \forall (x_{1},\dots ,x_{p})\in E^{p},g({\overline {x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{p}}})=h(x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{p})=f(x_{1},\dots ,x_{p})}$

On appelle donc puissance extérieure le quotient N/C et on le note ${\displaystyle \bigwedge ^{p}E}$. Si ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{p})\in E^{p}}$, la classe de l'élément ${\displaystyle x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{p}}$ se note ${\displaystyle x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{p}}$ (au lieu de ${\displaystyle {\overline {x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{p}}}}$ comme écrit précédemment).

Lorsque E est un module libre de type fini sur un anneau commutatif A, il possède une base finie ${\displaystyle (e_{1},\dots e_{n})}$ et la famille suivante :

${\displaystyle F=\left(e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{p}}\right)_{1\leq i_{1}<\cdots <i_{p}\leq n}}$

est une base du produit extérieur ${\displaystyle \bigwedge ^{p}E}$.

En particulier, on déduit le résultat suivant : deux bases finies ${\displaystyle (e_{i})}$ et ${\displaystyle (f_{j})}$ d'un module sur un anneau commutatif ont même longueur. En effet, soit n la longueur de l'une, et m la longueur de l'autre. Supposons n < m. Le produit extérieur ${\displaystyle \bigwedge ^{m}E}$ est le module nul, car en utilisant la propriété précédente, on déduit que la famille vide est une base de ${\displaystyle \bigwedge ^{m}E}$, par ailleurs, la famille réduite à un élément ${\displaystyle \left(f_{1}\wedge \cdots \wedge f_{m}\right)}$ est également une base. D'où la contradiction, donc ${\displaystyle n\geq m}$, par symétrie on déduit ${\displaystyle m\geq n}$, d'où n = m.

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