Anneau d'Hermite

La notion d'anneau d'Hermite est un peu plus faible que celle d'anneau projectif libre (notion qui est également traitée dans cet article). Le théorème de Quillen-Suslin^[1] (qui apporte une réponse positive à une conjecture de Serre) montre que l'anneau de polynômes ${\displaystyle K\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]}$ (où ${\displaystyle K}$ est un corps commutatif) est un anneau d'Hermite (et, d'après le théorème de Hilbert-Serre^[2], il est même projectif libre). Ce résultat cesse d'être exact si le corps ${\displaystyle K}$ est non commutatif dès que ${\displaystyle n\geq 2}$^[3],[4]. De même, la première algèbre de Weyl ${\displaystyle A_{1}\left(k\right)}$ (où ${\displaystyle k}$ est un corps commutatif) n'est pas un anneau d'Hermite^[5].

Notons tout d'abord que le terme anneau d'Hermite est pris ici au sens introduit par Lissner^[6]. Suivant une terminologie maintenant tombée en désuétude, due à Kaplansky^[7], la notion d'anneau d'Hermite commutatif intègre coïncide avec celle d'anneau de Bézout. La notion précisée ci-dessous est plus générale.

• Un anneau ${\displaystyle R}$ est dit avoir la propriété IBN (en)^[8] si ses puissances cartésiennes sont deux à deux non isomorphes en tant que modules^[9] : ${\displaystyle \forall n,m,\quad R^{n}\cong _{R-\mathrm {mod} }R^{m}\quad \Rightarrow \quad n=m}$. Tout anneau commutatif non nul a la propriété IBN^[10].
• Soit ${\displaystyle R}$ un anneau et ${\displaystyle P}$ un ${\displaystyle R}$-module à droite. Ce module ${\displaystyle P}$ est dit stablement libre (en) s'il existe des entiers ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle n}$ tels que ${\displaystyle P\oplus R^{m}\cong R^{n}}$^[11],[12].
  Il est clair qu'un module stablement libre est projectif de type fini, la réciproque étant en général inexacte. D'autre part, un module libre de type fini est stablement libre.
• Une matrice-ligne ${\displaystyle A_{1}\in R^{1\times n}}$ est dite unimodulaire si elle est inversible à droite.
  Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Pour toute ligne unimodulaire ${\displaystyle A_{1}}$, il existe une matrice ${\displaystyle A_{2}\in R^{n-1\times n}}$ telle que la matrice carrée${\displaystyle A=\left({\begin{array}{c}A_{1}\\A_{2}\end{array}}\right)}$est inversible.
2. Tout ${\displaystyle R}$-module à droite stablement libre est libre.

• Un anneau est dit d'Hermite à droite s'il a la propriété IBN et s'il vérifie les conditions équivalentes ci-dessus^[11],[13].
  On définit de même un anneau d'Hermite à gauche, mais un anneau est d'Hermite à droite si, et seulement si il est d'Hermite à gauche^[11]. (La terminologie vient du fait suivant : Charles Hermite a montré que toute ligne non nulle de n entiers a_i peut être complétée par n – 1 lignes de n entiers de façon à former une matrice carrée dont le déterminant est le plus grand diviseur commun des a_i^[14].)
• La notion d'anneau projectif libre a été introduite par Cohn^[15]. Un anneau R est dit projectif libre si tout R-module projectif de type fini est libre^[11].
  Il est clair que tout anneau projectif libre est d'Hermite, la réciproque étant inexacte.
• Soit R un anneau noethérien sans diviseurs de zéro. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Tout idéal à gauche ou à droite de R est stablement libre.
2. Tout R-module sans torsion est stablement libre.
   On appelle anneau stablement libre un anneau qui vérifie les conditions équivalentes ci-dessus^[16],[17].

• Si ${\displaystyle R}$ est un anneau de Bézout (non nécessairement commutatif), tout ${\displaystyle R}$-module de type fini est libre. Par conséquent, tout anneau de Bézout est un anneau d'Hermite.
• Si ${\displaystyle R}$ est un anneau de Bézout commutatif ou un anneau de valuation, ${\displaystyle R\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]}$ est un anneau projectif libre^[18]. Cela cesse d'être exact dès que ${\displaystyle n\geq 2}$ si ${\displaystyle R}$ est un anneau de Bézout non commutatif (ou même un corps non commutatif, comme on l'a dit plus haut).
• Un anneau local, un anneau de Dedekind commutatif, sont des anneaux d'Hermite^[19]. Cela n'est pas vrai d'un anneau de Dedekind non commutatif quelconque, comme le montre l'exemple de l'algèbre de Weyl ${\displaystyle A_{1}\left(k\right)}$.
• L'anneau des polynômes de Laurent généralisés ${\displaystyle K\left[X_{1},\dots ,X_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m},Y_{1}^{-1},\dots ,Y_{m}^{-1}\right]}$, où ${\displaystyle K}$ est un corps commutatif, est projectif libre^[20].
• Si ${\displaystyle R=K\left[\left[Y_{1},\dots ,Y_{m}\right]\right]}$, où ${\displaystyle K}$ est un corps commutatif, alors ${\displaystyle R\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]}$ est projectif libre. La conjecture de Bass-Quillen, non démontrée, est que cela reste vrai si ${\displaystyle R}$ est, plus généralement, un anneau local régulier^[21].
• Un anneau (non nécessairement commutatif) stablement libre est un anneau de Dedekind, la réciproque étant inexacte. Néanmoins, l'algèbre de Weyl ${\displaystyle A_{1}\left(k\right)}$, où ${\displaystyle k}$ est un corps commutatif de caractéristique 0, est un anneau stablement libre qui n'est pas projectif libre^[17].
• Un anneau (non nécessairement commutatif) est principal si, et seulement si il est stablement libre et d'Hermite^[17].
  La condition nécessaire est évidente. La condition suffisante se démontre comme suit : soit ${\displaystyle R}$ un anneau stablement libre et ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ un idéal à gauche de ${\displaystyle R}$. Cet idéal ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ est stablement libre. Si de plus ${\displaystyle R}$ est un anneau d'Hermite, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ est libre. Puisque ${\displaystyle R}$ est noethérien, ${\displaystyle R}$ est un anneau principal à gauche^[22]. Le même raisonnement montre que ${\displaystyle R}$ est également un anneau principal à droite.

• (en) Henri Bourlès et Bogdan Marinescu, Linear Time-Varying Systems : Algebraic-Analytic Approach, Springer, 2011, 638 p. (ISBN 978-3-642-19726-0, présentation en ligne)
• (en) Henri Bourlès, « On Stably Ideal Domains », 2012 (arXiv 1206.3668v3)
• (en) Paul Moritz Cohn, « On the structure of the GL₂ of a ring », Publ. Math. IHES, n^o 30,‎ 1966, p. 5-53 (lire en ligne)
• (en) Paul Moritz Cohn, Free Rings and their Relations, Academic Press, 1985, 2^e éd., 595 p. (ISBN 978-0-12-179152-0)
• (en) Irving Kaplansky, « Elementary Divisors and Modules », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 66,‎ 1949, p. 464-491 (lire en ligne)
• (en) Tsit Yuen Lam, Serre's Problem on Projective Modules, Springer, 2006, 414 p. (ISBN 978-3-540-23317-6, lire en ligne)
• (en) David Lissner, « Outer product rings », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 116,‎ 1965, p. 526-535 (lire en ligne)
• (en) Manuel Ojanguren et Ramaiyengar Sridharan (en), « Cancellation of Azumaya algebras », J. Algebra, vol. 18,‎ 1971, p. 501-505
• Jean-Pierre Serre, « Modules projectifs et espaces fibrés à fibre vectorielle », Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, vol. 11, n^o 2, exp. n°23,‎ 1957-1958, p. 1-18 (lire en ligne)
• (en) Pramod K. Sharma, « Projective modules over group rings », J. Algebra, vol. 19,‎ 1971, p. 304-314

Keith Conrad, « Stably free modules »

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