Loi tronquée

En probabilité et en statistique, une loi tronquée est une loi conditionnelle, dérivée d'une autre loi de probabilité, où l'on ne garde que les tirages sur un intervalle défini. Plus clairement, pour une variable aléatoire X de support réel, dont la fonction de répartition est F, la loi tronquée à l'intervalle réel [a,b] est simplement la loi conditionnelle de X | a ≤ X ≤ b. Ce type de situation survient dans la censure statistique. Par exemple, pour l'étude de la durée passée au chômage, durant le temps d'observation, certaines personnes étaient déjà au chômage au début de l'étude mais retrouvent du travail dans ce laps de temps (troncature à gauche) et d'autres perdent leur emploi et restent au chômage au-delà de la fin de l'étude (troncature à droite). L'étude de la loi tronquée permet alors d'évaluer la fonction de vraisemblance.

Pour une variable aléatoire X, de support réel, et dont la fonction de répartition est F et la densité f, on peut montrer que le conditionnement de X à l'intervalle réel [a,b] donne :

${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq x|a\leq X\leq b)={\frac {\mathbb {P} (a\leq X\leq x)}{\mathbb {P} (a\leq X\leq b)}}={\frac {F(x)-F(a)}{F(b)-F(a)}}}$

avec ${\displaystyle x\in [a;b]}$ et ${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)\,\mathrm {d} u}$. La densité g associée est

${\displaystyle g(x)=f(x|a\leq X\leq b)={\frac {f(x)}{F(b)-F(a)}}}$

pour ${\displaystyle x\in [a;b]}$, 0 sinon. g est une densité, puisque

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{F(b)-F(a)}}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=1}$.

Il existe d'autres troncatures ; pour une troncature du type {X > y}, la densité devient

${\displaystyle g(x)=f(x|X>y)={\frac {f(x)}{1-F(y)}}}$,

pour ${\displaystyle x>y}$ et g(x) = 0 partout ailleurs.

Pour une troncature du type ${\displaystyle X\leq y}$, la densité est :

${\displaystyle g(x)=f(x|X\leq y)={\frac {f(x)}{F(y)}}}$

pour ${\displaystyle x\leq y}$ et 0 sinon.

L'espérance de X conditionnellement à l'événement {X > y} est ${\displaystyle \mathbb {E} (X|X>y)={\frac {1}{1-F(y)}}\int _{y}^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x}$.

Soit alors a et b le support de la variable initiale, pour une fonction ${\displaystyle x\mapsto u(x)}$ de classe C¹, la fonction ${\displaystyle y\mapsto \mathbb {E} (u(X)|X>y)}$ présente quelques propriétés :

1. ${\displaystyle \lim _{y\to a}\mathbb {E} (u(X)|X>y)=\mathbb {E} (u(X))}$ ;
2. ${\displaystyle \lim _{y\to b}\mathbb {E} (u(X)|X>y)=u(b)}$ ;
3. ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}[\mathbb {E} (u(X)|X>y)]={\frac {f(y)}{1-F(y)}}[\mathbb {E} (u(X)|X>y)-u(y)]}$ ;
4. ${\displaystyle \lim _{y\to a}{\frac {\partial }{\partial y}}[\mathbb {E} (u(X)|X>y)]=f(a)[\mathbb {E} (u(X))-u(a)]}$ ;
5. ${\displaystyle \lim _{y\to b}{\frac {\partial }{\partial y}}[\mathbb {E} (u(X)|X>y)]={\frac {1}{2}}u'(b)}$.

On suppose bien sûr que les limites suivantes existent : ${\displaystyle \lim _{y\to c}u'(y)=u'(c)}$, ${\displaystyle \lim _{y\to c}u(y)=u(c)}$ et ${\displaystyle \lim _{y\to c}f(y)=f(c)}$ où c représente soit a ou b.

La loi tronquée la plus utilisée est la loi normale tronquée, obtenue à partir d'une loi normale. Elle est utilisée en économétrie dans le modèle tobit et le modèle probit, afin de modéliser respectivement les données censurées et les probabilités de choix binaire.

Si ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})\!}$, et qu'on contraint X à appartenir à l'intervalle [a,b] avec ${\displaystyle -\infty \leq a<b\leq \infty }$. Alors la densité tronquée est

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,a,b)={\frac {\frac {1}{\sigma }}{\Phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}\varphi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right),}$

où ${\displaystyle {\varphi (\cdot )}\ }$ est la densité de la loi normale standard et ${\displaystyle {\Phi (\cdot )}\ }$ sa fonction de répartition. On impose la convention que si ${\displaystyle {b=\infty }\ }$, alors ${\displaystyle {\Phi \left({\frac {b-\mu }{\sigma }}\right)=1}}$ et de même, si ${\displaystyle {a=-\infty }\ }$, alors ${\displaystyle {\Phi \left({\frac {a-\mu }{\sigma }}\right)=0}}$.

Les moments pour une double troncature sont

${\displaystyle \mathbb {E} (X|a<X<b)=\mu +{\frac {\varphi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})-\varphi \left({\frac {b-\mu }{\sigma }}\right)}{\Phi \left({\frac {b-\mu }{\sigma }}\right)-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}\sigma ,}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X|a<X<b)=\sigma ^{2}\left[1+{\dfrac {{\frac {a-\mu }{\sigma }}\varphi \left({\frac {a-\mu }{\sigma }}\right)-{\frac {b-\mu }{\sigma }}\varphi \left({\frac {b-\mu }{\sigma }}\right)}{\Phi \left({\frac {b-\mu }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {a-\mu }{\sigma }}\right)}}-\left({\dfrac {\varphi \left({\frac {a-\mu }{\sigma }}\right)-\varphi \left({\frac {b-\mu }{\sigma }}\right)}{\Phi \left({\frac {b-\mu }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {a-\mu }{\sigma }}\right)}}\right)^{2}\right].\!}$

Pour une simple troncature, ces moments deviennent

${\displaystyle \mathbb {E} (X|a<X)=\mu +\sigma \lambda (\alpha )}$

et

${\displaystyle \operatorname {Var} (X|X>a)=\sigma ^{2}[1-\delta (\alpha )]}$

avec ${\displaystyle \alpha =(a-\mu )/\sigma ,\;\lambda (\alpha )=\varphi (\alpha )/[1-\Phi (\alpha )]\;{\text{et}}\;\delta (\alpha )=\lambda (\alpha )[\lambda (\alpha )-\alpha ].}$

Considérons la configuration suivante : une valeur de troncature, disons t, est tirée au hasard, depuis une densité de probabilité g(t), non-observable. On observe alors une valeur x tirée dans la densité tronquée f (x|t). On souhaite, à partir de l'observation de x, mieux connaître la densité de t.

Par définition, on a déjà :

${\displaystyle f(x)=\int _{x}^{\infty }f(x|t)g(t)\,\mathrm {d} t}$

et

${\displaystyle F(a)=\int _{-\infty }^{a}\left[\int _{x}^{\infty }f(x|t)g(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} x}$

t doit être plus grand que x, et par conséquent, lorsqu'on intègre sur t, il faut poser x comme borne inférieure.

Par le théorème de Bayes :

${\displaystyle g(t|x)={\frac {f(x|t)g(t)}{f(x)}}}$

qui devient

${\displaystyle g(t|x)={\frac {f(x|t)g(t)}{\displaystyle \int _{x}^{\infty }f(x|t)g(t)\,\mathrm {d} t}}}$

En supposant que t est uniformément distribuée sur [0;T] et que X|t est aussi uniformément distribuée, cette fois-ci sur [0;t]. Soit g(t) et f (x|t) les densités décrivant respectivement t et x. On suppose observer une valeur de x, et la distribution de t sachant x est

${\displaystyle g(t|x)={\frac {f(x|t)g(t)}{f(x)}}={\frac {1}{t(\ln(t)-\ln(x))}}\quad {\text{ pour }}t>x.}$

• Greene, William H. (2003). Econometric Analysis (5th ed.). Prentice Hall. (ISBN 0-13-066189-9)
• Norman L. Johnson and Samuel Kotz (1970). Continuous univariate distributions-1, chap. 13. John Wiley & Sons.

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