Loi du demi-cercle

Loi du demi-cercle
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	${\displaystyle R>0}$, rayon
Support	${\displaystyle x\in [-R;+R]\!}$
Densité de probabilité	${\displaystyle {\frac {2}{\pi R^{2}}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\!}$
Fonction de répartition	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}\!}$
Espérance	${\displaystyle 0\,}$
Médiane	${\displaystyle 0\,}$
Mode	${\displaystyle 0\,}$
Variance	${\displaystyle {\frac {R^{2}}{4}}\!}$
Asymétrie	${\displaystyle 0\,}$
Kurtosis normalisé	${\displaystyle -1\,}$
Entropie	${\displaystyle \ln(\pi R)-{\frac {1}{2}}\,}$
Fonction génératrice des moments	${\displaystyle 2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t}}}$
Fonction caractéristique	${\displaystyle 2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t}}}$
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi du demi-cercle ou loi du demi-cercle de Wigner est une loi de probabilité sur l'intervalle [-R,R] et dont le graphe de la densité de probabilité est un demi-cercle de rayon R, centré en 0 et convenablement renormalisé, ce qui en fait, en fait, une ellipse. En anglais, cette loi est nommée Wigner semicircle distribution, d'après le nom du physicien Eugene Wigner.

En théorie des nombres, la loi du demi-cercle est parfois appelée loi de Satō-Tate, voir la conjecture de Satō-Tate.

Cette loi apparait comme la loi limite des valeurs propres de beaucoup de matrices aléatoires quand la taille de la matrice tend vers l'infini.

La densité de probabilité de la loi du demi-cercle est :

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle {2 \over \pi R^{2}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}\,}}&{\hbox{ pour }}-R<x<R,\\0.&{\hbox{ sinon.}}\end{cases}}}$

La fonction de répartition de la loi du demi-cercle est :

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\hbox{ pour }}x<-R,\\\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}&{\hbox{ pour }}-R<x<R,\\1&{\hbox{ pour }}x>R.\end{cases}}}$

Pour tout entier n, le 2n-ième moment de la loi du demi-cercle est

${\displaystyle E(X^{2n})=\left({R \over 2}\right)^{2n}C_{n}\,}$

où ${\displaystyle C_{n}}$ est le n-ième nombre de Catalan :

${\displaystyle C_{n}={1 \over n+1}{2n \choose n}.}$

Ainsi les moments de la loi du demi-cercle sont les nombres de Catalan si ${\displaystyle R=2}$. Par la propriété de symétrie, les moments d'ordre impair sont nuls.

En faisant la substitution ${\displaystyle x=R\cos(\theta )}$ dans la définition de la fonction génératrice des moments, on obtient :

${\displaystyle M(t)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{Rt\cos(\theta )}\sin ^{2}(\theta )\,d\theta .}$

Cette équation peut être résolue (voir Abramowitz et Stegun §9.6.18) :

${\displaystyle M(t)=2\,{\frac {I_{1}(Rt)}{Rt}}}$

où ${\displaystyle I_{1}(z)}$ est la fonction de Bessel modifiée.

De manière similaire, la fonction caractéristique est donnée par :

${\displaystyle \varphi (t)=2\,{\frac {J_{1}(Rt)}{Rt}}}$

où ${\displaystyle J_{1}(z)}$ est la fonction de Bessel. (voir Abramowitz et Stegun §9.1.20).

• Lorsque R tend vers 0, la loi du demi-cercle converge vers la distribution de Dirac.
• La loi du demi-cercle est un cas particulier de la loi bêta renormalisée. Plus précisément, si Y est de loi bêta de paramètres ${\displaystyle \alpha =\beta ={\frac {3}{2}}}$, alors ${\displaystyle R(2Y-1)}$ suit la loi du demi-cercle.
• La loi du demi-cercle est la limite de la loi de Kesten-McKay lorsque son paramètre d tend vers l'infini.

• (en) Milton Abramowitz et Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, 1972.

• (en) Eric W. Weisstein et al., Wigner's semicircle

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