Ennéacontagone

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Un ennéacontagone est un polygone à 90 sommets, donc 90 côtés et 3 915 diagonales.

La somme des angles internes d'un ennéacontagone non croisé vaut 15 840 degrés.

Un ennéacontagone régulier est un ennéacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a douze : onze étoilés (notés {90/k} pour k impair de 7 à 43 sauf les multiples de 3 ou 5) et un convexe (noté {90}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'ennéacontagone régulier ».

Les douze ennéacontagones réguliers.

Représentation
Symbole de Schläfli	{90}	{90/7}	{90/11}	{90/13}	{90/17}	{90/19}
Angle interne	176°	152°	136°	128°	112°	104°
Représentation
Symbole de Schläfli	{90/23}	{90/29}	{90/31}	{90/37}	{90/41}	{90/43}
Angle interne	88°	64°	56°	32°	16°	8°

Chacun des 90 angles au centre mesure ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{90}}=4^{\circ }}$ et chaque angle interne mesure ${\displaystyle {\frac {15\,840^{\circ }}{90}}=176^{\circ }}$.

Si a est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut ${\displaystyle P=90\,a}$ ;
• l'aire vaut ${\displaystyle A={\frac {90}{4}}\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{90}}\right)}$ ;
• l'apothème vaut ${\displaystyle H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{90}}\right)}$ ;
• le rayon vaut ${\displaystyle R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{90}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{90}}\right)}}}$.

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