Aire d'un polygone

En géométrie, l'aire d'un polygone correspond à la mesure de la superficie (c'est-à-dire l'aire) de la région délimitée par le polygone.

Si un polygone simple (c'est-à-dire sans aucune intersection d'aucune paire quelconque de côtés, en dehors du sommet commun à deux côtés successifs) a n sommets qui sont les points

${\displaystyle P_{0},\ P_{1},\ \ldots ,\ P_{n}=P_{0}}$

et si P_i a pour coordonnées (x_i , y_i) alors^[1] l'aire du polygone (considérée comme un nombre positif si les sommets sont ordonnés dans le sens trigonométrique et négatif dans le cas contraire) est donnée par :${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),}$expression qui peut s'interpréter comme la somme des aires des triangles OP_iP_i+1 (avec la même convention de signe), ou encore :${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i+1}+x_{i})(y_{i+1}-y_{i})=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_{i})(y_{i+1}+y_{i})}$(ces formules ne sont valables que pour un polygone simple : par exemple un antiparallélogramme, juxtaposition de deux triangles égaux joints par un sommet et parcouru en « huit », donnera une aire totale nulle, résultat de la somme de deux aires opposées, les deux triangles étant parcourus dans des sens contraires).

Pour un polygone régulier avec n côtés de longueur c, l'aire A est donnée par :

${\displaystyle A={\frac {nc^{2}}{4\tan(\pi /n)}}.}$

• Théorème de Pick pour calculer l'aire d'un polygone dont tous les sommets sont sur une grille
• Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien

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