Triangle obtusangle

En géométrie, un triangle obtusangle (ou encore triangle amblygone, ou plus simplement triangle obtus) est un triangle qui a un angle obtus, par opposition au triangle acutangle ne comportant que des angles aigus, et au triangle rectangle dont un angle est droit et les deux autres, aigus.

En géométrie euclidienne, la somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle étant toujours égale à 180°, un triangle ne peut avoir plus d'un angle obtus. Un triangle est donc toujours soit obtusangle, soit acutangle, soit rectangle.

Cette distinction entre les triangles est particulièrement importante car certains théorèmes ne s'appliquent qu'à un seul type de triangles, ou s'appliquent différemment selon le type concerné.

Contrairement au triangle acutangle, pour un triangle obtusangle, le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre sont à l'extérieur du triangle.

Condition sur les côtés

Trois nombres réels $0<a\leqslant b\leqslant c$ sont les côtés d'un triangle obtusangle si et seulement si $c^{2}>a^{2}+b^{2}$ (voir la démonstration à triangle acutangle).

Autres conditions

Un triangle est obtusangle si et seulement s'il possède deux angles dont la somme des mesures en degrés est $<90^{\circ }$ .
Un triangle est acutangle si et seulement si $\cos {\widehat {A}}\cos {\widehat {B}}\cos {\widehat {C}}<0$ (en effet un cosinus au plus peut être négatif).

Avec la formule $\cos {\widehat {A}}\cos {\widehat {B}}\cos {\widehat {C}}={\frac {p^{2}-(r+2R)^{2}}{4R^{2}}}$ , où $p$ est le demi-périmètre, $r$ le rayon du cercle inscrit et $R$ celui du circonscrit, on obtient ^[1] :

Un triangle est acutangle si et seulement si $p<2R+r$ .

Notes et références

Explication détaillée sur Récréomath

↑ J.B. Hiriart-Urruty, P. Lassère, Jean-Pierre Laurent, « Pouvez-vous mesurer la forme d'un triangle ? », Quadrature, n^o 127,‎ janvier-février-mars 2023, p. 20 - 23

Portail de la géométrie

[1] J.B. Hiriart-Urruty, P. Lassère, Jean-Pierre Laurent, « Pouvez-vous mesurer la forme d'un triangle ? », Quadrature, n^o 127,‎ janvier-février-mars 2023, p. 20 - 23

[1]

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron