Tulotopologia

Tulotopologia on kahden tai useamman topologisen avaruuden karteesiselle tulolle määritelty topologia.

Avaruuksien karteesisen tulon topologia voidaan muodostaa ainakin kahdella melko luonnollisella tavalla kerrottavien avaruuksien topologioista. ^[1] Näitä kutsutaan laatikko- ja tulotopologiaksi. Nämä eroavat toisistaan, jos kerrottavia joukkoja on äärettömän monta; äärellisessä tapauksessa eroa ei ole.

Olkoon X karteesinen tulo indeksijoukon I yli:

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i},}$

Joukon X tulotopologia on projektioiden P_i: X -> X_i indusoima topologia.^[2]

Tulotopologian kannan muodostavat joukot ${\displaystyle \prod U_{i}}$, jossa jokainen U_i on avoin joukossa X_i ja U_i ≠ X_i vain äärellisen monta kertaa.^[2]

Avaruuksien tulotopologia on karkein niistä X:n topologioista, joissa jokainen projektio P_j on jatkuva.^[2]

Topologisten avaruuksien karteesiselle tulolle voidaan määritellä toinenkin luonnolliselta vaikuttava topologia valitsemalla kannaksi joukot ${\displaystyle \prod U_{i}}$, missä U_j on mielivaltainen X_j:n avoin osajoukko. Tällä tavoin saadaan laatikkotopologia, joka ei ole kuitenkaan osoittautunut kovin merkitykselliseksi.^[2]

Jos edellä indeksijoukko I on äärellinen eli karteesinen tulo muodostetaan vain äärellisestä määrästä avaruuksia, ei edellä mainitulla kohdalla "äärellisen monta" ole merkitystä. Tämän vuoksi laatikko- ja tulotopologia eivät eroa toisistaan äärellisten tulojen tapauksessa.

Kerrotaan kaksi Sierpińskin avaruutta keskenään. Nimetään selkeyden vuoksi toisen alkiot ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$, toisen ${\displaystyle 0}$ ja ${\displaystyle 1}$, jolloin topologiat ovat ${\displaystyle \{\varnothing ,\{a\},\{a,b\}\}}$ ja vastaavasti ${\displaystyle \{\varnothing ,\{0\},\{0,1\}\}}$. Avaruuden kannaksi tulee ${\displaystyle \{\{(a,0)\},\{(a,0),(a,1)\},\{(a,0),(b,0)\}\}}$, ja avaruuteen tulee (koko joukon ja tyhjän joukon lisäksi) vielä näistä unioni ${\displaystyle \{(a,0),(a,1),(b,0)\}}$.

Reaalilukujen, joille on määritelty tavanomainen topologia, äärellinen tulo tuottaa tavanomaisen euklidisen topologian joukolle Rⁿ.

Tavallisella topologialla varustettujen reaalilukujen numeroituvasti äärettömässä tulossa ${\displaystyle \mathbf {R} ^{\mathbf {N} }}$ avoin ei ole esimerkiksi jono ${\displaystyle (]0,1[,]0,1[,]0,1[...)}$. Sen sijaan ${\displaystyle (]0,1[,]0,1[,\mathbf {R} ,\mathbf {R} ,\mathbf {R} ,...)}$ on avoin.

• Erotteluaksioomat
  • T₀-avaruuksien tulo on T₀-avaruus.
  • T₁-avaruuksien tulo on T₁-avaruus.
  • T₂-avaruuksien (eli Hausdorffin avaruuksien) tulo on T₂-avaruus.