Zenbaki arrunt

Zenbakiak matematikan
Zenbaki multzoak
${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ Zenbaki arruntak ${\displaystyle \mathbb {N} }$ Zenbaki osoak ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Zenbaki arrazionalak ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ Zenbaki irrazionalak Zenbaki errealak ${\displaystyle \mathbb {R} }$ Zenbaki konplexuak ${\displaystyle \mathbb {C} }$ Zenbaki aljebraikoak Zenbaki transzendenteak
Konplexuen hedadurak
Koaternioiak ${\displaystyle \mathbb {H} }$ Oktonioiak ${\displaystyle \mathbb {O} }$ Zenbaki hiperkonplexuak
Bestelakoak
Zenbaki kardinalak Zenbaki ordinalak Zenbaki lehenak π = 3.141592654… e = 2.718281828… i unitate irudikaria ∞ infinitua Φ = 1,6180339887...
Zenbaki-sistemak
Zenbaki-sistema hamartarra Zenbaki-sistema bitarra Zenbaki-sistema hamaseitarra Zenbaki-sistema zortzitarra

Zenbaki arruntak multzo bateko elementuak zenbatzeko erabiltzen diren zenbakiak dira: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...

Matematikari batzuek (zenbaki-teoriari ekin ziotenak) zero arrunta ez dela deritzote, baina beste batzuk ez dira uste berekoak (multzo-teoria, logika eta informatikari ekin ziotenak). Entziklopedia honetan, zero arrunta dela kontuan hartuko dugu.

Definizioa

• Definizioa zerorik gabe :

${\displaystyle \mathbb {N} :1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\cdots }$

• Definizioa zeroarekin:

${\displaystyle \mathbb {N} :0,1,2,3,4,\cdots }$

Zenbaki arruntak zer diren edonork dakien arren, haren definizioa ez da inolaz ere erraza. Peano-ren axiomak zenbaki arrunten multzoa, ${\displaystyle \mathbb {N} }$, adiera bakarreko moduan deskribatzen dute:

• Zero zenbaki arrunta bedi.
• a zenbaki arrunt bakoitza, beste a+1 zenbaki arruntak jarraituko du.
• Ez dago zenbaki arruntik, zeinen ondorengo zenbakia zeroa den.
• Bi zenbaki arrunt desberdinak badira (${\displaystyle a\neq b}$), ondoren datozenak ere desberdinak dira (${\displaystyle a+1\neq b+1}$).
• Zerorentzat eta edozein zenbaki arrunt harturik honen ondorengoarentzat betetzen den propiatatea, zenbaki arrunt guztientzat beteko da.

Azken postulatuak indukzio matematikoaren baliotasuna bermatzen du.

Zenbaki natural baten berdinak edo txikiagoak diren zenbaki natural guztien multzoa ${\displaystyle {\displaystyle k}}$, hau da${\displaystyle \{1,2,\dots ,k-1,k\}}$, segida natural baten segmentua deitzen da eta ${\displaystyle |1,k|}$ edo ${\displaystyle [k]}$^[1] moduan idatzi ohi da.

Kantitateen adierazpenerako zenbaki arruntak existitu baino lehen, kontatzeko beste metodo batzuk erabiltzen ziren, horretarako zenbait objektu ezberdin erabiliz aibidez; harriak, makilak edota eskuetako hatzak. Aurrerago, simbolo grafiko ezberdinak hasi ziren erabiltzen kontatzen laguntzeko, egurrezko makil batean markak eginez, edota harean egindako marra simpleak erabiliz. Hala nola, Mesopotamian izan zen K.a. 400. urtearen inguruan non zenbakien lehen aztarnak agertu ziren. Hauek, buztinezko taulatxo txikietan egindako marka edo seinaleak ziren, horretarako, makil puntadun txikiak erabiliz. Hortik dator idazkera kuneiformearen izena. Zenbaketa sistema hau beranduago barneratu zen; hala ere, beste sinbolo grafiko ezberdin batzuekin, Antzineko Grezian eta Antzineko Erroman. Antzineko Grezian, haien alfabetoaren letrak erabiltzen zituzten soilik, Antzinako Erroman ordez, letrez gain, simbolo batzuk ere erabili ziren.

Richard Dedekind izan zen zenbaki arrunten multzoa gero eta sendoago bilakatzen ari zen oinarri batean finkatu zituena, XIX. mendean. Honek, axioma batzuen serie batetik deribatu zituen, eta horrek inplikatzen zuen zenbaki arrunten multzoaren existentzia egia zela. Hala ere, beranduago Peanok, bigarren ordeneko logika baten barnean gehiago zehaztu zituen, horrela Peanoren bost axioma famatuak ateraz. Frege aurreko biak baino haratago joan zen, eta zenbaki arrunten existentzia frogatu zuen, printzipio sendoago batzuetatik hasita. Hala ere, Fregeren teoriak bere sinesgarritasuna galdu egin zuen, eta beste metodo berri bat bilatu behar izan zen. Zermelok zenbaki naturalen multzoa demostratu zuen, bere multzoen teoriaren barnean, eta batez ere, amaigabetasunaren axiomaren bitartez. Honi, Adolf Fraenkelek aldaketa bat egin zion, eta von Neumann-ek dioenez, horrek baimendu zuen zenbaki arrunten multzoa ordinal moduan eraikitzea.

Zenbaki arrunten ezaugarri batzuk hauek dira:

1. Edozein zenbaki 1 baino handiagoa (edo 0 baino handiagoa, 0 zenbaki arrunt moduan hartuz gero) beste zenbaki arrunt baten ostean agertuko da.
2. Bi zenbaki arrunten artean beti dago zenbaki naturalen kopuru finito bat.
3. Edozein, zenbaki arrunt hartuta, beti egongo da beste zenbaki arrunt bat hau baino handiagoa.
4. Zenbaki arrunt baten eta bere hurrengoaren artean ez da existitzen zenbaki arruntik.

0 = Zero

1 = Bat

2 = Bi

3 = Hiru

4 = Lau

5 = Bost

6 = Sei

7 = Zazpi

8 = Zortzi

9 = Bederatzi

10 = Hamar

11 = Hamaika

12 = Hamabi

13 = Hamahiru

14 = Hamalau

15 = Hamabost

16 = Hamasei

17 = Hamazazpi

18 = Hemezortzi

19 = Hemeretzi

20 = Hogei

21 = Hogeita bat

22 = Hogeita bi

23 = Hogeita hiru

29 = Hogeita bederatzi

30 = Hogeita hamar

31 = Hogeita hamaika

39 = Hogeita hemeretzi

40 = Berrogei

50 = Berrogeita hamar

60 = Hirurogei

70 = Hirurogeita hamar

80 = Laurogei

90 = Laurogeita hamar

100 = Ehun

200 = Berrehun

300 = Hirurehun

400 = Laurehun

500 = Bostehun

600 = Seiehun

700 = Zazpiehun

800 = Zortziehun

900 = Bederatziehun

1.000 = Mila

1.235 = Mila berrehun eta hogeita hamabost

2.000 = Bi mila

10.000 = Hamar mila

11.000 = Hamaika mila

100.000 = Ehun mila

1.000.000 = Milioi bat

10.000.000 = Hamar milioi

100.000.000 = Ehun milioi

1.000.000.000 = Mila milioi

10.000.000.000 = Hamar mila miloi

100.000.000.000 = Ehun mila milioi

1.000.000.000.000 = Bilioi bat

1.000.000.000.000.000.000 = Trilioi bat

1.000.000.000.000.000.000.000.000 = Koatrilioi bat

Zenbaki arrunten multzoan definitzen diren eragiketa matematikoak batuketa eta biderketa dira.

Zenbaki arrunten batuketa eta biderketa eragiketa trukakorrak eta elkarkorrak dira, hau da:

• Zenbakien ordenak ez du emaitza aldatzen (trukatze-propietatea), a + b = b + a, eta a × b = b × a.

• Hiru zenbaki arrunt edo gehiago batzeko — edo biderkatzeko —, ez da beharrezkoa zenbakiak modu espezifiko batean taldekatzea; izan ere, (a + b) + c = a + (b + c) (elkartze-propietatea). Horrek ematen die zentzua a + b + c bezalako adierazpenei.

Zenbaki arruntak biderkatzean, argi ikusten da batuketa eta biderketa eragiketa bateragarriak direla; izan ere, biderketa kopuru berdinak gehitzea litzateke, eta bateragarritasun horri esker, banakortasun propietatea gara daiteke, honela adierazten dena:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

Gainera, bi eragiketa horiek honako propietate hauek betetzen dituzte:

• Bi eragiketak ixtea a eta b zenbaki natural guztietarako, izan ere a + b eta a × b zenbaki arruntak baitira beti.

• Elementu neutroak izatea bi eragiketetarako, hau da, edozein a zenbakirentzat, a + 0 = a eta a × 1 = a.

• Biderketarako zero zatitzailerik ez izatea: a eta b zenbaki arruntak baldin badira a × b = 0 eta orduan a = 0 edo b = 0.

Zenbaki arruntak erabat ordenatuta daude. Ordena-erlazioa ${\displaystyle \leq }$ honela birdefini daiteke: a ${\displaystyle \leq }$ b da baldin eta soilik baldin a + c = b betetzen duen beste c zenbaki natural bat badago. Ordena hori bateragarria da eragiketa aritmetiko guztiekin; izan ere, a, b eta c zenbaki arruntak badira eta a ${\displaystyle \leq }$ b, orduan honako hau betetzen da:

a + c ${\displaystyle \leq }$ b + c

a × c ${\displaystyle \leq }$ b × c

Zenbaki arrunten multzoaren propietate garrantzitsu bat multzo ongi ordenatua dela da

1. a barne A motako edozein elementutarako, ${\displaystyle \exists }$ b barne A non a < b

Zenbaki arruntetan zatiketaren algoritmoa existitzen da. a eta b zenbaki arruntak emanda, b ${\displaystyle \neq }$0 bada, beste bi q eta r zenbaki arrunt aurki ditzakegu, zatidura eta hondarra deituak, hurrenez hurren, modu honetan:

a = (b × q) + r eta r < b

q eta r zenbakiak a eta b-ren bitartez daude zehaztuta.

Zenbaki arrunten beste propietate konplexuago batzuk, adibidez zenbaki lehenen banaketa, zenbakien teoriak aztertzen ditu.