Zenbaki konplexu

Zenbakiak matematikan
Zenbaki multzoak
${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ Zenbaki arruntak ${\displaystyle \mathbb {N} }$ Zenbaki osoak ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Zenbaki arrazionalak ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ Zenbaki irrazionalak Zenbaki errealak ${\displaystyle \mathbb {R} }$ Zenbaki konplexuak ${\displaystyle \mathbb {C} }$ Zenbaki aljebraikoak Zenbaki transzendenteak
Konplexuen hedadurak
Koaternioiak ${\displaystyle \mathbb {H} }$ Oktonioiak ${\displaystyle \mathbb {O} }$ Zenbaki hiperkonplexuak
Bestelakoak
Zenbaki kardinalak Zenbaki ordinalak Zenbaki lehenak π = 3.141592654… e = 2.718281828… i unitate irudikaria ∞ infinitua Φ = 1,6180339887...
Zenbaki-sistemak
Zenbaki-sistema hamartarra Zenbaki-sistema bitarra Zenbaki-sistema hamaseitarra Zenbaki-sistema zortzitarra

Zenbaki konplexuak zenbaki erreal pare batez osatutako zenbakiak dira, hurrengo eran idatz daitezkeenak:

${\displaystyle a+ib\,}$, non i unitate irudikaria den ${\displaystyle i^{2}=-1}$ propietatea betetzen duena. ${\displaystyle z=a+ib\,}$ z zenbaki konplexuaren adierazpen binomikoa da. ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ bi zenbaki erreal dira, a z-ren zati erreala eta b z-ren zati irudikaria direla diogu eta ${\displaystyle a=Rez}$ , ${\displaystyle y=Imz}$ idatzi ohi da.

Adibidez, hau zenbaki konplexua da: ${\displaystyle z={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}i}$ non ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ parte erreala den eta ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ parte irudikaria.

Zenbaki errealen multzoa zenbaki konplexuen parte dira. Zenbaki konplexuen multzoa ${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {C} }}$ ikurarren bidez adieraziko dugu eta honela definitu:

${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {C} }=\{x+yi:x,y\in \mathbb {R} \}}$

Zenbaki errealen hedapen bezala, hauen eragiketak betetzen dituzte, eta beste propietate garrantzitsu batzuk ere betetzen dituzte. Adibidez, zenbaki errealetan ez bezala, polinomio orok ebazpena dauka zenbaki konplexuen multzoan.

Zenbaki konplexuak zenbaki erreal bikote ordenatu bezala definitzen dira,

${\displaystyle z=(x,y)\,}$

Lehenengo zenbakiari zati erreala deitzen zaio eta bigarrenari zati irudikaria. Zenbaki errealak zenbaki konplexuen azpimultzo bat dira; a zenbaki erreala (a,0) zenbaki konplexu moduan idatzi daiteke. (x,0) erako zenbakiak erreal puruak deitzen dira eta (0,y) erakoak irudikari puruak. Horrela, i unitate irudikaria (0,1) zenbakia da.

Beste adierazpen era bat binomikoa da, gehien erabiltzen denetarikoa. Era honetan bi zenbaki erreal erabiltzen dira, i unitate irudikariarekin zenbaki konplexu bat eratzeko:

${\displaystyle z=x+iy\,}$

(x,y) pareak bana-banako korrespondentzia bat du plano bateko puntuekin, plano konplexua deiturikoa. Hau da, ardatz horizontala zati erreala bezala hartuz, eta bertikala zati irudikaria bezala, bertako puntuak (x,y) bikoteagatik definituak daude. Horrek ohiko era polarrean idaztea ahalbidetzen du, ${\displaystyle x=r\cos \theta }$ eta ${\displaystyle y=r\sin \theta }$ baitira. z = (x,y) = x + iy idazteko beste era bat, beraz, polarra da:

${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\,}$

r zenbaki konplexuaren modulua da eta θ argumentua:

${\displaystyle {\begin{cases}r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta =\arg(z)=\arctan {\frac {y}{x}}\end{cases}}}$

Zenbakiaren argumentuak infinitu balio ditu, θ eta θ + 2nπ, n = 0, ±1, … balioek planoan angelu berdina adierazten baitute. Argumentuak balio nagusi bat dauka, Arg(z) bezala adierazten dena, eta (-π,π] artean dagoen arg(z)ren balio bakarra da. Horrela, arg(z) = Arg(z) + 2nπ, n = 0, ±1, … da.

Eulerren formulak ${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$ erlazioa definitzen du. Formula horrekin adierazpen polarra alda daiteke era esponentzialera:

${\displaystyle z=re^{i\theta }\,}$

Zenbaki konplexuen arteko batura zenbaki errealen arteko baturan oinarrituta dago. Era binomikoan adierazitako zenbaki konplexu bakoitzak bere zati erreala eta zati irudikaria du. Bi zenbaki konplexu batzeko, alde batetik zati errealak batu behar ditugu eta bestetik, zati irudikariak. Hau egitean, beste zenbaki konplexu bat lortuko dugu.

Hau da, bi zenbaki konplexuren batuketa hurrengo eran definitzen da. Izan bitez ${\displaystyle z_{1}=x_{1}+iy_{1}}$ eta ${\displaystyle z_{2}=x_{2}+iy_{2}}$ bi zenbaki konplexu:

${\displaystyle z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})\,}$

Adibidez, , ${\displaystyle z_{1}=3+2i}$ eta ${\displaystyle z_{2}=-8+4i}$ zenbaki konplexuak batu nahi baditugu, hau lortuko dugu:

${\displaystyle z_{1}+z_{2}=(3+2i)+(-8+4i)=(3-8)+(2+4)i=-5+6i}$

Bi zenbaki konplexu kentzeko, alde batetik zati errealak kenduko ditugu eta bestetik, zati irudikariak. Hau da, bi zenbaki konplexuren kenketa hurrengo eran definitzen da. Izan bitez ${\displaystyle z_{1}=x_{1}+iy_{1}}$ eta ${\displaystyle z_{2}=x_{2}+iy_{2}}$ bi zenbaki konplexu:

${\displaystyle z_{1}-z_{2}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=(x_{1}-x_{2})+i(y_{1}-y_{2})}$

Adibidez, , ${\displaystyle z_{1}=3+2i}$ eta ${\displaystyle z_{2}=-8+4i}$ zenbaki konplexuak kendu nahi baditugu, hau lortuko dugu:

${\displaystyle z_{1}-z_{2}=(3+2i)-(-8+4i)=(3-(-8))+(2-4)i=11-2i}$

Batuketan adierazitako zenbaki berak erabiliz, biderketaren definizioa hurrengoa da:

${\displaystyle z_{1}z_{2}=(x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\,}$

Definizio horretatik ikus daiteke i unitate irudikariaren karratua -1 zenbakia dela:

${\displaystyle i^{2}=ii=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1\,}$,

baita (x,y) parearen eta era binomialaren arteko baliokidetasuna ere:

${\displaystyle z=x+iy=(x,0)+(0,1)(y,0)=(x,0)+(0,y)=(x,y)\,}$

Zenbakiak era polarrean edo esponentzialean adierazita badaude, non ${\displaystyle r_{1},\theta _{1},r_{2},\theta _{2}}$ bien modulu eta argumentuak diren, biderketak hurrengo itxura hartzen du:

${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}[\cos(\theta _{1}+\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}+\theta _{2})]=r_{1}r_{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}\,}$

Era honek erraztasunak ditu irudikapen grafikoaren orduan, biderkaduraren modulua biderkagaien moduluen biderkadura baita, eta argumentua argumentuen batura. Biderketarekiko elementu neutroa (1,0) zenbakia da, eta biderketak lege trukakorra, elkarkorra eta batuketarekiko banakorra betetzen ditu:

• ${\displaystyle z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}\,}$
• ${\displaystyle z_{1}(z_{2}z_{3})=(z_{1}z_{2})z_{3}\,}$
• ${\displaystyle z_{1}(z_{2}+z_{3})=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}\,}$

Batuketak eta kenketak honako propietate hauek betetzen dituzte:

• Bi zenbaki konplexu batzean — edo kentzean— , emaitza era zenbaki konplexua izango da.

• Elkartze - propietatea: 3 zenbaki konplexu batzeko — edo kentzeko— , ez da beharrezkoa zenbakika modu espezifiko batean taldekatzea. Izan ere, ${\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in {\displaystyle \mathbb {C} }:(z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})}$

• Trukatze - propietatea: Zenbakien ordenak ez du emaitza aldatzen. Hau da, ${\displaystyle \forall z_{1},z_{2}\in {\displaystyle \mathbb {C} }:z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}}$
• Batuketarekiko eElementu neutroa: Existitzen da ${\displaystyle 0_{\displaystyle \mathbb {C} }=(0+0i)\in {\displaystyle \mathbb {C} }}$ non ${\displaystyle \forall z_{1}\in {\displaystyle \mathbb {C} }:z_{1}+0_{\displaystyle \mathbb {C} }=z_{1}}$.
• Batuketarekiko alderantzizko zenbakia: ${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {C} }}$-ko edozein elementurako existitzen da elementu alderantzizkoa gehiketarekiko (simetrikoa), hau da:${\displaystyle \forall z_{1}=(x+yi)\in {\displaystyle \mathbb {C} },\exists -z_{1}=(-x-yi)\in {\displaystyle \mathbb {C} }:z_{1}+(-z_{1})=0_{\displaystyle \mathbb {C} }}$

Izan bedi ${\displaystyle {\displaystyle z=(x,y)=x+yi\in {\displaystyle \mathbb {C} }}}$. ${\displaystyle z}$-ren konjokatua, ${\displaystyle {\bar {z}}}$ bezala idazten dena, honela definitzen da:

${\displaystyle {\bar {z}}=x-yi}$

Adibidez, ${\displaystyle {\overline {3-i}}=3+i}$ eta ${\displaystyle {\overline {2+5i}}=2-5i}$.

Konjokatuaren propietateak:

• ${\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z}$
• ${\displaystyle z+{\bar {z}}=2Rez}$, ${\displaystyle z-{\bar {z}}=2iImz}$
• ${\displaystyle {\bar {z}}=z\iff Imz=0\iff z\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}}$
• ${\displaystyle {\overline {z\cdot w}}={\bar {z}}\cdot {\bar {w}}}$
• ${\displaystyle {\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}}}$
• ${\displaystyle {\overline {-z}}=-{\bar {z}}}$
• ${\displaystyle z\neq 0\Longrightarrow {\overline {z^{-1}}}=({\bar {z}})^{-1}}$

${\displaystyle z=(x,y)=x+yi\in {\displaystyle \mathbb {C} }}$ zenbaki konplexu baten modulua, edo balio absolutua, ${\displaystyle |z|}$ adierazten dena, ${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ da.

Moduluaren propietateak:

• ${\displaystyle |z|=0\iff z=0\,}$
• ${\displaystyle z\cdot {\bar {z}}=|z|^{2}}$, beraz, ${\displaystyle z\neq 0\Longrightarrow z^{-1}={\bar {z}}/|z|^{2}}$
• ${\displaystyle |z|=|-z|=|{\bar {z}}|}$
• ${\displaystyle |Rez|\leq |z|}$, ${\displaystyle |Imz|\leq |z|}$, ${\displaystyle |z|\leq |Rez|+|Imz|}$
• ${\displaystyle |z\cdot w|=|z|\cdot |w|\,}$
• ${\displaystyle |z+w|\leq |z|+|w|\,}$
• ${\displaystyle ||z|-|w||\leq |z-w|}$
  

Distantzia d(z, w) = |z − w| bezala definituz, zenbaki konplexuen multzoa espazio metriko bilakatzen da eta limite eta jarraitasuna azter daiteke.

Zenbaki konplexuen agerpena XVI. mendean izan zen, bigarren eta hirugarren mailako polinomioen erroen adierazpena aurkitu zenean, Tartaglia eta Cardano bezalako matematikarien eskutik. Nahiz eta erro errealak soilik bilatu, zenbaki negatiboen erro karratuak agertzen ziren. Zenbaki hauei irudikari izena Rene Descartesek jarri zien bere mespretxua adierazteko. XVIII. mendeak Moivre eta Leonhard Euleren lanak ikusi zituen eta zenbaki konplexuen hedapena, Caspar Wesselek 1799an interpretazio geometrikoa eman zuenean sustatu zena. Gaussen lanak garrantzitsuak izan ziren zenbaki konplexuen teorian aurreratzeko. Definizio formalerako zenbaki erreal pareen erabilera XIX. mendean eman zen.