Zenbakien teoria

Zenbaki-teoria (edo zenbakien teoria, edo goi mailako aritmetika) matematika puruaren adar bat da, zenbaki osoak eta zenbaki osoetako funtzioetan sakontzen gehienbat.  Carl Friedrich Gauss matematikari alemaniarrak honela zioen: “Matematika zientzien erregea da, eta zenbaki-teoria matematikaren erregea da”.^[1] Zenbaki-teorian lan egiten duten zientzialariek zenbaki lehenak, zenbaki osoetatik eratorritako beste elementu matematiko batzuk (zenbaki arrazionalak, esaterako) eta zenbaki osoen orokorpenak aztertzen dituzte.

Mesopotamiako Larsa hirian, K.a. 1800. urtean jatorria duen Plinton 322 buztinezko taulatxoan ageri da historian lehen aldiz, aritmetikaren erabilera, non bertan Pitagorasen hirukoen zerrenda bat azaltzen den, hau da, ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ betetzen duten ${\displaystyle (a,b,c)}$ zenbaki osoez osatutako tupla edo bektoreen zerrenda bat. Zerrenda hau seguruenik, garai hartako zenbait arazori irtenbidea aurkitzeko eta arazo horiek konpontzeko sortua izango zen. Babiloniar astronomian erabilera izan zezakeela uste da, eta beste iturri batzuen arabera, eskolako problemen zenbakizko adibideetan ere erabiltzen .

Nabarmentzekoa da zenbaki teoria babiloniarra aljebra babiloniarrarekin alderatuta garatu gabea eta sinplea zela (aipaturiko lagina), azken hau bereziki garatua baitzegoen.

Eskola pitagorikoak zenbakien izaera bikoitia sakon aztertu zuen. Zenbaki bakoiti batek, beste zenbaki bikoiti bat zatitzen badu, orduan honen erdia ere zatituko duenaren ideia abiapuntutzat hartuz, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ zenbaki irrazionala zela frogatu zuten. Zenbaki irrazionalen aurkikuntzak, matematikaren oinarrien historiako lehen krisia ekarri zuen, ordura arteko zenbait teoria zalantzan jartzen baitzituen; hala jaso zuen eskola pitagorikoko kide izan zen Hippasus matematikariak. Ondorioz, batetik, zenbakien multzoan zenbaki osoen eta arrazionalen bereizketa definitu zen, eta bestetik luzera edota proportzionaltasuna bezalako kontzeptuak bereizi ziren (zenbaki arrazionaletan soilik erabiliko zirenak). Garapen horretan, zenbaki poligonialak eta beste zenbaki moten azterketa ere egin zuten.

Ezaguna da Antzinako Egipton eta Vedetan jasotako materia aritmetikoetan aljebraren erabileraren zantzu batzuk ere lantzen direla. Era berean, hondarraren teorema txinatarra ariketa gisa azaltzen da III eta V mendeetan idatzitako Sunzi Suanjing tratatu matematiko txinatarrean.

Pierre de Fermat (1607-1665) frantziar abokatu eta matematikaria izan zen. Zenbakien teoriari buruz egin zuen lanaren zati handiena beste matematikari batzuei idatzitako gutunetan eta ohar pribatuetan gorde da.^[2] Gutun eta ohar hauetan ez zuen ia frogarik idatzi.

Bere bizitzan zehar, Fermatek zenbaki-teorian hainbat ekarpen egin zituen. Horien artean hauek dira nabarmenenak:

• 1638an, edozein zenbaki beste lau zenbaki edo gutxiagoren karratu bezala idatz daitekeela aldarrikatu zuen, nahiz eta frogarik ez izan.^[3]
• Fermaten teorema txikia (1640): p zenbaki lehenak ez badu zenbaki osoa zatitzen, orduan: $${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$$
• ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}$ problemak zenbaki osoetan soluzio ez-tribialik ez zuela frogatu zuen.^[4]
• "Fermaten azkeneko teorema": ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ ${\displaystyle \forall n\geq 3}$ problemak ez du soluzio ez-tribialik.

Lagun batek Fermaten lan batzuk erakutsi zizkionean interesatu zen lehen aldiz zenbakien teorian Leonhard Euler (1707-1783). Eulerrek zenbakien teorian egin zituen ekarpenen artean honakoak dira nabarmenenak:

• Fermaten teorema txikia frogatu zuen, modulu ez-lehenetara orokortuz. Fermaten beste lan askorekin ere gauza bera egin zuen.
• Zatiki jarraituen eta Pell-en ekuazioaren arteko erlazioa idatzi zuen.^[2]
• Zenbakien teoria analitikoan lehen urratsak eman zituen.

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) Fermatek eta Eulerrek eginiko lan batzuk osorik frogatzeko gai izan zen, esate baterako, lau karratuen teorema. Forma koadratikoak bere osotasunean aztertu zituen; baliokidetasun erlazioa definitu zuen eta forma murriztuan adierazi zuen.

Adrien-Marie Legendrek  (1752–1833)  erreziprokotasun koadratikoaren legea ezarri zuen. Zenbaki lehenen teoremaren eta segida aritmetikoen Dirichlet-en teoremaren konjeturak ezarri zituen. ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$ ekuazioa sakon aztertu zuen^[2] eta zuzenen gaineko forma koadratikoak ere aztertu zituen. Zahartzaroan, fermaten azkeneko teorema  n=5 kasurako frogatu zuen.

Disquisitiones Arithmeticae  liburuan, Carl Friedrich Gaussek (1777-1855) erreziprokotasun kuadratikoaren legea frogatu zuen, eta forma koadratikoen teoria garatu zuen. Kongruentzien notazioa erabiltzen lehenengoa izan zen eta konputazioaren arloan ere murgildu zen, lehentasun testa (zenbaki lehenak aurkitzeko testa) esaterako. Liburu horren azken atalean, unitatearen erroaren eta zenbaki-teoriaren lotura ezarri zuen.

Hemeretzigarren mendearen hasieran, honako garapenak gertatu ziren:

• Zenbaki-teoria azterketa eremu gisa ikusteak indarra hartu zuen.
• Zenbaki-teoria modernorako matematikaren beharrezko garapenak eman ziren: analisi konplexua, talde-teoria, Galoisen teoria …
• Zenbaki-teoriaren banaketa zenbaki-teoria modernoko azpiatal nagusietan, hala nola zenbaki analitikoen teoria eta zenbaki aljebraikoen teoria.

Metodo bat elementala dela esaten da, bertan analisi konplexua erabiltzen ez bada.^[5] Adibidez, hasiera batean, zenbaki lehenen teorema analisi konplexua erabiliz frogatu zen (1896. urtean), baina 1949. urtera arte ez zen froga elementalik aurkitu.

Zenbakien teoria analitikoa zenbaki osoen problemak ebazteko analisi matematikoa erabiltzen duen zenbakien teoriaren azpiatal bat da. Azpiatal honetan gehien erabiltzen diren metodoen artean Dirichleten serieak eta Riemannen zeta funtzioak daude.

Zenbaki konplexu bat algebraikoa dela esaten da, koefiziente arrazionalak dituen polinomio baten erroa bada; adibidez, ${\displaystyle x^{2}+x+1}$ zenbakiaren erro guztiak. Eraztunen teoriako zenbaki idealen, idealen teoriaren eta balorazio-teoriaren garapenarekin batera etorri zen zenbaki-teoria algebraikoaren garapena.

Orain arte ikusitako hiru azpiatalekin, zenbaki baten faktorizazioa bakarra dela frogatzen da.

Geometria diofantikoaren oinarrizko problema ekuazio diofantiko batek soluziorik duen ala ez jakitean datza, eta baiezko kasuan, zenbat dituen jakitean.

Adibidez, bi aldagai errealen menpe  definitutako ekuazio batek kurba bat definitzen du planoan. Ideia orokortuz, bi aldagai edo gehiagoren menpe definitutako ekuazio batek edo ekuazio-sistema batek kurba bat, gainazal bat edo n dimentsioko espazioko objektu bat definitzen du. Geometria diofantikoan, problemak ea balio arrazionaletarako edo osotarako soluziorik duen aztertzen da. Baiezko kasuan, zenbat dauden eta lantzen ari garen espazioan nola banatuta dauden jakitea da hurrengo urratsa. Horretarako, soluzio kopurua ea finitua den eta bere kontagarritasuna aztertu behar da.

Konbinatoria aritmetikoak honako galdera hauek hartzen ditu abiapuntutzat: A multzo “txiki” eta infinitu bat hartzen badugu, multzo honek${\displaystyle \{a,a+b,a+2b,....,a+10b\}}$ segida aritmetikoko zenbat elementu izango ditu? Posible izango al da multzoko elementuen batura bidez, balio batetik gorako elementuak idaztea? Multzoko elementuen batura ekuazio modura hartuta lortzen diren ekuazioei konbinatoria aritmetikoko karakteristikak deritze.

Eremu hau, aipatutako ekuazioen azterketan oinarritzen denez, zenbaki-teoria batukorra eta zenbakien geometria erabiltzen dira. Orokorrean, azaltzen diren problemak talde-teoria finituarekin, modelo teoriarekin eta teoria ergodikoarekin erlazionatuta daude.

Soluzioak lortzeko metodoen deskribapena frogapenak egitearen ideia baino lehenagotik dator. Metodo hauek (algoritmoak) lehen aldiz historian antzinako Grezian azaltzen dira. Horren adibidea da algoritmo euklidearra: zenbaki-teorian algoritmo euklidearra erabiltzen den modua, konputazioan algoritmo euklidearra erabiltzen den modua baino zaharragoa da.

Orokorrean, bi arazo izango ditugu, edo izango al ditugun jakin nahiko dugu.  Batetik, ea konputatzeko gai izango garen, eta beraz, ea konputazionalki emaitza bat lortuko dugun. Bestetik, ea zenbat iraungo duen kalkulu konputazionalak, hau da, kostu konputazionala zenbatekoa izango den. Agian, erraza izan daiteke zenbaki bat lehena den erabakitzea, baina konputazionalki modu eraginkor eta azkarrean egitea oso zaila izan daiteke (zenbakia oso handia bada, baliteke kalkulu gehiegi egin behar izatea). Gaur egun, badira lehentasun test azkarrak, baina faktorizaziorako test azkarrak falta dira.

Kriptografian, mezu bat, bere hartzailearentzat (eta soilik berarentzat) ulergarria izatea lortu nahi da, horretarako pribatutasuna bermatuz. Hari beretik, demagun zifratutako mezu bat dugula, kodifikatuta. Deskodeketa egiteko, zifratutako mezua zenbakitzat hartuz, hau faktore lehenetan deskonposatzea premiazkoa da ia beti (gaur egun erabiltzen diren sistema kriptografikoetan), eta hau konputazionalki programatzeko, lehentasun test azkarren beharra dugu. Mezu baten pribatutasuna bermatzeko (baina gero mezua deskodetu ahal izateko), zenbaki lehenetan deskonposatzeko oso konplexuak diren zenbakiak erabiltzen dira. Horrela, mezuaren hartzailea ez den batek faktorizatzeko test azkarrik ez dagoenez, ezingo du deskodetu, eta beraz, pribatutasuna mantentzen da.

Zenbaki teoria elementala matematika diskretuko kurtsoetan irakasten da zientzia konputazionalerako. Horrez gain, zenbaki teoriak aplikazio ugari ditu analisi numerikoan, bai eta aski ezaguna den kriptografian ere.^{[6] [7]}