Distribució F

Funció de distribució de probabilitat
Tipus	Distribució F no central
Epònim	Ronald Aylmer Fisher i George Snedecor
Paràmetres	d1, d₂ > 0 graus de llibertat
Suport	${\displaystyle x\in (0,+\infty )}$
fdp	${\displaystyle {\frac {d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {x^{d_{1}/2-1}}{(d_{1}x+d_{2})^{(d_{1}+d_{2})/2}}},}$ x>0
FD	${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),\quad x\geq 0}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}}$, per d₂ > 2
Moda	${\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}$, per d1 > 2
Variància	${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}},}$ per d₂ > 4
Coeficient de simetria	${\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}},}$ d₂ > 6
FGM	No existeix
EOM	Fisher-F-distribution
Mathworld	SnedecorsF-Distribution

En Teoria de probabilitat i Estadística, la distribució F és la distribució de probabilitat definida del quocient de dues variables aleatòries independents amb distribucions khi quadrat, cadascuna dividida pel seu nombre de graus de llibertat. També se la coneix com a distribució F de Snedecor (per George Snedecor) o com a distribució F de Fisher-Snedecor. És fonamental en molts contrasts d'hipòtesis, especialment en els de l'Anàlisi de la variància. La referència bàsica d'aquesta pàgina és Johnson et al.^[1]

Sigui ${\displaystyle S_{1}\sim \chi _{d_{1}}^{2}}$ i ${\displaystyle S_{2}\sim \chi _{d_{2}}^{2}}$ , independents, amb ${\displaystyle d_{1}>0}$ i ${\displaystyle d_{2}>0}$. La variable aleatòria $${\displaystyle X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}}$$es diu que segueix una distribució ${\displaystyle F}$ amb ${\displaystyle d_{1}}$ i ${\displaystyle d_{2}}$ graus de llibertat.. S'escriu ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$.

La seva funció de densitat és$${\displaystyle f(x)={\frac {d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,\,d_{2}/2)}}\,{\frac {x^{d_{1}/2-1}}{(d_{1}x+d_{2})^{(d_{1}+d_{2})/2}}},\quad x>0,}$$on ${\displaystyle B(a,b)}$ és la funció beta.

La funció de distribució per a ${\displaystyle x\geq 0}$ es pot escriure $${\displaystyle F(x)=I_{m(x)}(d_{1}/2,\,d_{2}/2),\quad {\text{amb}}\quad m(x)={\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}},}$$on ${\displaystyle I_{\alpha }(a,b)}$ és una funció beta incompleta regularitzada. Per a ${\displaystyle x<0}$ , ${\displaystyle F(x)=0}$ .

Comentari sobre els graus de llibertat. El cas més habitual d'una distribució ${\displaystyle \chi ^{2}}$ és quan el nombre ${\displaystyle d}$ de graus de llibertat és un nombre natural i llavors es pot interpretar com la suma dels quadrats de ${\displaystyle d}$ variables aleatòries normals estàndard independents. Però mitjançant la funció de densitat es pot definir una distribució ${\displaystyle \chi ^{2}}$ que tingui com a graus de llibertat qualsevol nombre real estrictament positiu ${\displaystyle d\in (0,\infty )}$, nombre que continua anomenat-se els graus de llibertat de la distribució.^[2] En conseqüència, pot definir-se la distribució ${\displaystyle F}$ amb graus de llibertat qualsevol nombres ${\displaystyle d_{1},\,d_{2}\in (0,\infty )}$.

Càlcul de la funció de densitat

Comencem buscant la funció de densitat de $${\displaystyle G={\frac {S_{1}}{S_{2}}}.}$$ Amb aquest objectiu, considerarem el canvi ${\displaystyle (S_{1},S_{2})\mapsto (G,S_{2})}$ i després buscarem la marginal de ${\displaystyle G}$. Per la independència de ${\displaystyle S_{1}}$ i ${\displaystyle S_{2}}$ , la densitat conjunta del vector ${\displaystyle (S_{1},S_{2})}$ és el producte de les densitats d'aquestes dues variables: $${\displaystyle f_{(S_{1},S_{2})}(u,v)=Cu^{d_{1}/2-1}\,v^{d_{2}/2-1}e^{-(u+v)/2},\quad u>0,\,v>0.}$$on $${\displaystyle C={\frac {2^{-(d_{1}+d_{2})/2}}{\Gamma (d_{1}/2)\Gamma (d_{2}/2)}}.}$$Considerem l'aplicació ${\displaystyle h:(0,\infty )^{2}\rightarrow (0,\infty )^{2}}$ donada per $${\displaystyle h(u,v)={\bigg (}{\frac {u}{v}},\,v{\bigg )}.}$$que és bijectiva. La inversa és ${\displaystyle g=h^{-1}:(0,\infty )^{2}\rightarrow (0,\infty )^{2}}$ , $${\displaystyle g(x,v)=(xv,v).}$$ El determinant jacobià de ${\displaystyle g}$ és ${\displaystyle J_{g}=v}$ . Llavors, la funció de densitat de ${\displaystyle (G,S_{2})}$ (vegeu l'apartat de funcions d'un vector aleatori amb densitat de la pàgina Vector aleatori) és $${\displaystyle f_{(G,S_{1})}(x,v)=Cx^{d_{1}/2-1}v^{(d_{1}+d_{2})/2-1}e^{-v(1+x)/2},\quad x>0,\,v>0.}$$Per tant, $${\displaystyle f_{G}(x)=\int _{0}^{\infty }f_{G,S_{1}}(x,v)\,dv=Cx^{d_{1}/2-1}\int _{0}^{\infty }v^{(d_{1}+d_{2})/2}e^{-v(1+x)/2}\,dv.}$$La integral de la dreta es pot calcular mitjançant la funció gamma i, canviant ${\displaystyle C}$ pel seu valor, s'obté $${\displaystyle f_{G}(x)={\frac {1}{B(d_{1}/2,\,d_{2}/2)}}\,{\frac {x^{d_{1}/2-1}}{(1+x)^{(d_{1}+d_{2})/2}}}.}$$Finalment, per calcular la densitat de $${\displaystyle X={\frac {d_{2}}{d_{1}}}\,G,}$$s'utilitza que si ${\displaystyle Y}$ és una variable aleatòria amb funció de densitat ${\displaystyle f_{Y}}$ , llavors la densitat de la variable ${\displaystyle R=aY}$, amb ${\displaystyle a>0}$ , és $${\displaystyle f_{R}(x)={\frac {1}{a}}f_{Y}{\bigg (}{\frac {x}{a}}{\bigg )}.}$$

Càlcul de la funció de distribució

Per a ${\displaystyle x\geq 0}$ tenim $${\displaystyle F(x)={\frac {d_{1}^{d_{1}/2}\,d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,\,d_{2}/2)}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{d_{1}/2-1}}{(d_{1}t+d_{2})^{(d_{1}+d_{2})/2}}}\,dt.}$$En aquesta integral es fa el canvi $${\displaystyle t={\frac {d_{2}}{d_{1}}}\,{\frac {y}{1-y}},}$$i s'obté una integral del tipus funció beta.

Phillips ^[3] dona la següent expressió de la funció característica de ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$: $${\displaystyle \varphi (t)={\frac {\Gamma {\big (}(d_{1}+d_{2})/2{\big )}}{\Gamma (d_{2}/2)}}\,U{\bigg (}{\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},it{\frac {d_{2}}{d_{1}}}{\bigg )},}$$on ${\displaystyle U(a,b,z)}$ és la funció hipergeomètrica confluent de 2a. classe.^[4] Vegeu Johnson et al.^[1] per a un desenvolupament en sèrie de la funció característica.

Sigui ${\displaystyle X\sim F(d_{1},\,d_{2})}$. Llavors ${\displaystyle X}$ té moment d'ordre ${\displaystyle n}$ si i només si ${\displaystyle n<d_{2}/2}$ . En aquest cas,

$${\displaystyle E[X^{n}]={\frac {d_{2}^{n}}{d_{1}^{n}}}\,{\frac {\Gamma (d_{1}/2+n)\,\Gamma (d_{2}/2-n)}{\Gamma (d_{1}/2)\,\Gamma (d_{2}/2)}}={\frac {d_{2}^{n}}{d_{1}^{n}}}\,{\frac {d_{1}(d_{1}+2)\cdots (d_{1}+2n-2)}{(d_{2}-2)(d_{2}-4)\cdots (d_{2}-2n)}}.}$$ En particular, si ${\displaystyle d_{2}>2}$, llavors ${\displaystyle X}$ te esperança i val $${\displaystyle E[X]={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}.}$$ Si ${\displaystyle d_{2}>4}$, ${\displaystyle X}$ te moment de 2n ordre $${\displaystyle E[X^{2}]={\frac {d_{2}^{2}(d_{1}+2)}{d_{1}(d_{2}-2)(d_{2}-4)}}}$$ i $${\displaystyle {\text{Var}}(X)={\frac {2d_{2}^{2}(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}.}$$

Prova

Atès que ${\displaystyle S_{1}}$ i ${\displaystyle S_{2}}$ són positives i independents, tenim que

$${\displaystyle E[X^{n}]={\frac {d_{2}^{n}}{d_{1}^{n}}}E[S_{1}^{n}]\,E[S_{2}^{-n}].}$$D'una banda, per les propietats de les distribucions khi quadrat, $${\displaystyle E[S_{1}^{n}]=2^{n}\,{\frac {\Gamma (d_{1}/2+n)}{\Gamma (d_{1}/2)}}.\qquad (1)}$$D'altra banda, $${\displaystyle E[S_{2}^{-n}]={\frac {1}{2^{d_{2}/2}\,\Gamma (d_{2}/2)}}\int _{0}^{\infty }x^{d_{2}/2-n-1}e^{-x/2}\,dx.}$$La integral de la dreta és del tipus funció Gamma, i llavors, si ${\displaystyle n<d_{2}/2}$, tenim que $${\displaystyle E[S_{2}^{-n}]={\frac {1}{2^{d_{2}/2}\Gamma (d_{2}/2)}}\,{\frac {\Gamma (d_{2}/2-n)}{(1/2)^{d_{2}/2-n}}}={\frac {\Gamma (d_{2}/2-n)}{2^{n}\Gamma (d_{2}/2)}}.\qquad (2)}$$Si ${\displaystyle n\geq d_{2}/2}$ , aleshores la integral val infinit.

Quan ${\displaystyle n<d_{2}/2}$ ajuntant (1) i (2) s'obté el resultat.

$${\displaystyle h=\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)+\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}},}$$ on ${\displaystyle \psi (z)}$ és la funció digamma. Vegeu Lazo and Rathie.^[5]

• Test F