Distribució de Benini

Distribució de Benini

Tipus	distribució de probabilitat
Epònim	Rodolfo Benini
Paràmetres	${\displaystyle \alpha >0}$ forma (real) ${\displaystyle \beta >0}$ forma (real) ${\displaystyle \sigma >0}$ escala (real)
Suport	${\displaystyle x>\sigma }$
fdp	${\displaystyle e^{-\alpha \log {\frac {x}{\sigma }}-\beta \left[\log {\frac {x}{\sigma }}\right]^{2}}\left({\frac {\alpha }{x}}+{\frac {2\beta \log {\frac {x}{\sigma }}}{x}}\right)}$
FD	${\displaystyle 1-e^{-\alpha \log {\frac {x}{\sigma }}-\beta [\log {\frac {x}{\sigma }}]^{2}}}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle \sigma +{\tfrac {\sigma }{\sqrt {2\beta }}}H_{-1}\left({\tfrac {-1+\alpha }{\sqrt {2\beta }}}\right)}$ on ${\displaystyle H_{n}(x)}$ són els polinomis d'Hermite probabilístics
Mediana	${\displaystyle \sigma \left(e^{\frac {-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta \log {16}}}}{2\beta }}\right)}$
Variància	${\displaystyle \left(\sigma ^{2}+{\tfrac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {2\beta }}}H_{-1}\left({\tfrac {-2+\alpha }{\sqrt {2\beta }}}\right)\right)-\mu ^{2}}$

En probabilitat, estadística, economia i ciència actuarial, la distribució de Benini és una distribució de probabilitat contínua que sovint s'aplica per modelar els ingressos, la gravetat de les reclamacions o les pèrdues en aplicacions actuarials i altres dades econòmiques.^[1][2]

El seu comportament de la cua es descompon més ràpid que una llei de potència, però no tan ràpid com una exponencial. Aquesta distribució va ser introduïda per l'estadístic i demògraf italià Rodolfo Benini en 1905.^[3] Una mica més tard de la publicació de l'obra original de Benini, la distribució s'ha descobert o discutit per diversos autors de forma independent.^[4]

La distribució de Benini, ${\displaystyle \mathrm {Benini} (\alpha ,\beta ,\sigma )}$, és una distribució de tres paràmetres, que té la funció de distribució acumulativa (FD)

${\displaystyle F(x)=1-\exp\{-\alpha (\log x-\log \sigma )-\beta (\log x-\log \sigma )^{2}\}=1-\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{-\alpha -\beta \log {\left({\frac {x}{\sigma }}\right)}}}$

on ${\displaystyle x\geq \sigma }$, els paràmetres de forma són α, β > 0, i σ > 0 és el paràmetre d'escala. Per a la parsimònia de Beníni^[3] es considera només el model de dos paràmetres (amb α = 0), amb FD

${\displaystyle F(x)=1-\exp\{-\beta (\log x-\log \sigma )^{2}\}=1-\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{-\beta (\log x-\log \sigma )}.}$

La densitat del model de Benini de dos paràmetres és

${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta }{x}}\exp \left\{-\beta \left[\log \left({\frac {x}{\sigma }}\right)\right]^{2}\right\}\cdot \log \left({\frac {x}{\sigma }}\right),\qquad x\geq \sigma >0.}$

Els dos paràmetres variables de la distribució de Benini poder ser generades pel mètode de la transformació inversa. Per al model de dos paràmetres, la funció quantil (FD inversa) és

${\displaystyle F^{-1}(u)=\sigma \exp {\sqrt {-{\frac {1}{\beta }}\log(1-u)}},\quad 0<u<1.}$

• Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {Benini} (\alpha ,0,\sigma )\,}$, llavors X és una distribució de Pareto amb ${\displaystyle x_{\mathrm {m} }=\sigma }$
• Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {Benini} (0,{\tfrac {1}{2\sigma ^{2}}},1),}$ llavors ${\displaystyle X\sim e^{U}}$ on ${\displaystyle U\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$

Els (dos) paràmetres de la distribució de densitat de Benini, distribució de probabilitat, la funció quantil i el generador de nombres aleatoris s'implementa en el paquet VGAM per a R, que també proporciona l'estimació de màxima versemblança del paràmetre de forma.^[5]

• Benini Distribution, en Wolfram Mathematica (definició i grafics)  PDF(anglès)