劉維爾數

如果一個實數${\displaystyle x}$滿足，對任意正整數${\displaystyle n}$，存在整數${\displaystyle p,q}$，其中${\displaystyle q>1}$有

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}}$

就把${\displaystyle x}$叫做劉維爾數。

法國數學家劉維爾在1844年證明了所有劉維爾數都是超越數^[1]，第一次說明了超越數的存在。

容易證明，劉維爾數一定是無理數。若不然，則${\displaystyle x={\frac {c}{d}},(c,d\in \mathbb {Z} ,d>0)}$。 取足夠大的${\displaystyle n}$使${\displaystyle {2^{n-1}}>d}$，在${\displaystyle {\frac {c}{d}}\neq {\frac {p}{q}}}$時有

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c}{d}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {cq-dp}{dq}}\right|\geq {\frac {1}{dq}}>{\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}}$

與定義矛盾。

即

${\displaystyle c=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots }$

這是一個劉維爾數。取

${\displaystyle p_{n}=\sum _{j=1}^{n}10^{n!-j!},\quad q_{n}=10^{n!}}$

那麼對於所有正整數${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left|c-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=\sum _{j=n+1}^{\infty }10^{-j!}=10^{-(n+1)!}+10^{-(n+2)!}+{}\cdots <10\cdot 10^{-(n+1)!}\leq {\Big (}10^{-n!}{\Big )}^{n}={\frac {1}{{q_{n}}^{n}}}.}$

所有劉維爾數都是超越數，但反過來並不對。例如，著名的e和${\displaystyle \pi }$就不是劉維爾數。實際上，有不可數多的超越數都不是劉維爾數。

劉維爾定理：若無理數${\displaystyle \alpha }$是代數數，即整係數${\displaystyle n}$次多項式${\displaystyle f}$的根，那麼存在實數${\displaystyle A>0}$，對於所有${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} ,q>0}$有

${\displaystyle \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert >{\frac {A}{q^{n}}}}$

證明：令${\displaystyle M=\max \left\{\left|f'(x)\right||x\in \left[\alpha -1,\alpha +1\right]\right\}}$，記${\displaystyle f}$的其它的不重複的根為 ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}}$，取這樣的A

${\displaystyle 0<A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},\left\vert \alpha -\alpha _{1}\right\vert ,\left\vert \alpha -\alpha _{2}\right\vert ,\ldots ,\left\vert \alpha -\alpha _{m}\right\vert \right)}$

如果存在使定理不成立的${\displaystyle p,q}$，就有

${\displaystyle \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert \leq {\frac {A}{q^{n}}}\leq A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},\left\vert \alpha -\alpha _{1}\right\vert ,\left\vert \alpha -\alpha _{2}\right\vert ,\ldots ,\left\vert \alpha -\alpha _{m}\right\vert \right)}$

那麼，${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \left[\alpha -1,\alpha +1\right]\land {\frac {p}{q}}\notin \left\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}\right\}}$

據拉格朗日中值定理，存在${\displaystyle \alpha }$和${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$之間的${\displaystyle x_{0}}$使得

${\displaystyle f(\alpha )-f(p/q)=(\alpha -p/q)\cdot f'(x_{0})}$

有

${\displaystyle \left\vert (\alpha -p/q)\right\vert =\left\vert f(\alpha )-f(p/q)\right\vert /\left\vert f'(x_{0})\right\vert =\left\vert f(p/q)/f'(x_{0})\right\vert \,}$

${\displaystyle f}$是多項式，所以

${\displaystyle \left\vert f(p/q)\right\vert =\left\vert \sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{-i}\right\vert ={\frac {\left\vert \sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{n-i}\right\vert }{q^{n}}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}}$

由於${\displaystyle \left|f'(x_{0})\right|\leq M}$和${\displaystyle 1/M>A}$

${\displaystyle \left\vert \alpha -p/q\right\vert =\left\vert f(p/q)/f'(x_{0})\right\vert \geq 1/(Mq^{n})>A/q^{n}\geq \left\vert \alpha -p/q\right\vert }$

矛盾。

證明劉維爾數是超越數：有劉維爾數${\displaystyle x}$，它是無理數，如果它是代數數則

${\displaystyle \exists n\in \mathbb {Z} ,A>0\forall p,q\left(\left\vert x-{\frac {p}{q}}\right\vert >{\frac {A}{q^{n}}}\right)}$

取滿足${\displaystyle {\frac {1}{2^{r}}}\leq A}$的正整數${\displaystyle r}$，並令${\displaystyle m=r+n}$，存在整數${\displaystyle a,b}$其中 ${\displaystyle b>1}$有

${\displaystyle \left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leq {\frac {1}{2^{r}}}{\frac {1}{b^{n}}}\leq {\frac {A}{b^{n}}}}$

與上式矛盾。故劉維爾數是超越數。

1. ^ Liouville, Joseph. Mémoires et communications. Comptes rendus de l'Académie des Sciences. [2023-01-02]. （原始內容存檔於2023-02-21）. 

• 丟番圖逼近

• The Beginning of Transcendental Numbers （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）