Numero di Liouville

Un numero di Liouville è un numero reale che può essere approssimato "molto bene" con una successione di numeri razionali.

Formalmente, un numero ${\displaystyle x}$ è di Liouville se per ogni numero intero positivo ${\displaystyle n}$ esistono degli interi ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ con ${\displaystyle q>1}$ tali che

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}}$.

Una definizione equivalente è che per ogni ${\displaystyle n}$ esistono infinite coppie ${\displaystyle (p,q)}$ di interi che verificano questa proprietà.

Si dimostra facilmente che ogni numero di Liouville è irrazionale. Nel 1844 Joseph Liouville dimostrò che i numeri che oggi portano il suo nome sono non solo irrazionali, ma anche trascendenti.

Si dimostra che i numeri di Liouville nell'intervallo ${\displaystyle [0,1]}$ sono non numerabili, ma hanno misura nulla.^[1] Questo implica che non tutti i numeri trascendenti sono di Liouville, e che anzi questa classe di numeri è molto piccola rispetto all'insieme dei numeri trascendenti. Esempi di numeri trascendenti ma non di Liouville sono il numero di Nepero (${\displaystyle e}$) e pi greco (${\displaystyle \pi }$).

La costante di Liouville, che, come non è difficile dimostrare, è un esempio di numero di Liouville, è il primo numero del quale è stata dimostrata la trascendenza.

Supponiamo che sia ${\displaystyle x=a/b}$, con ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ interi, e sia ${\displaystyle n}$ tale che ${\displaystyle 2^{n-1}>b}$. Allora per ogni coppia di interi ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ tali che ${\displaystyle q>1}$ e ${\displaystyle p/q\neq a/b}$ si ha

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\geq {\frac {1}{bq}}\geq {\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}}$

contraddicendo la proprietà usata per definire i numeri di Liouville.

Ogni numero di Liouville è trascendente, come fu dimostrato da Liouville nel 1844 (teorema di Liouville), sebbene l'inverso non sia sempre vero. La dimostrazione è basata sul lemma seguente.

Lemma. Per ogni algebrico irrazionale ${\displaystyle \alpha }$ di grado n (che risolve cioè un'equazione di grado n a coefficienti interi, ma non equazioni di grado inferiore), esiste una costante A tale che per ogni coppia di interi p, q con q > 0

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}}$

Dimostrazione del lemma.

Sia P(x) il polinomio minimo di α (cioè monico e di grado minimo tale che ${\displaystyle P(\alpha )=0}$ ). Poiché i polinomi sono lipschitziani in un intervallo limitato, esiste M > 0 tale che per ogni coppia a, b si ha

${\displaystyle |P(a)-P(b)|<M|a-b|}$

Quindi in particolare

${\displaystyle M\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\left|P(\alpha )-P\left({\frac {p}{q}}\right)\right|=\left|P\left({\frac {p}{q}}\right)\right|}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{M}}\left|P\left({\frac {p}{q}}\right)\right|}$

Osserviamo ora che ${\displaystyle P(p/q)\neq 0}$, in quanto altrimenti esisterebbe un altro polinomio a coefficienti razionali di grado minore che ha ancora ${\displaystyle \alpha }$ come radice, contro le ipotesi. Da ciò segue anche la diseguaglianza ${\displaystyle \left|P\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\geq {\frac {1}{q^{n}}}}$, perché si possono ridurre tutti i termini di P(p/q), ${\displaystyle a_{i}{\frac {p^{i}}{q^{i}}}}$ allo stesso denominatore qⁿ, e ciò dimostra il lemma.

Dimostrazione della trascendenza dei numeri di Liouville. Supponiamo ora che il numero di Liouville ${\displaystyle \alpha }$ sia algebrico di grado n, sia A la costante data dal lemma e r tale che ${\displaystyle {\frac {1}{2^{r}}}<A}$. Se m=r+n, allora, per la definizione di numero di Liouville, si ha

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{m}}}={\frac {1}{q^{n}q^{r}}}<{\frac {A}{q^{n}}}}$

il che contraddice l'algebricità di ${\displaystyle \alpha }$, per il lemma precedente e l'arbitrarietà di A.

Un particolare numero di Liouville è la cosiddetta costante di Liouville. Essa è pari a

${\displaystyle c=\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0,110001000000000000000001000...}$

È facile dimostrare che essa è un numero di Liouville: ponendo infatti

${\displaystyle p_{n}=\sum _{k=1}^{n}10^{n!-k!}=10^{n!}\sum _{k=1}^{n}10^{-k!},~~~~q_{n}=10^{n!}}$

(che sono numeri interi) si ottiene

${\displaystyle \left|c-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}-10^{n!}{\frac {\sum _{k=1}^{n}10^{-k!}}{10^{n!}}}=\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}-\sum _{k=1}^{n}10^{-k!}=\sum _{k=n+1}^{\infty }10^{-k!}<{\frac {2}{10^{(n+1)!}}}\leq {\frac {1}{10^{n\cdot n!}}}={\frac {1}{q_{n}^{n}}}}$

e quindi c verifica la definizione di numero di Liouville, in quanto questa relazione vale per ogni intero positivo n.

• Enrico Giusti, Analisi matematica 1, Giusti, Torino 1988, ISBN 8833956849

• numero di Liouville, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) William L. Hosch, Liouville number, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Numero di Liouville, su MathWorld, Wolfram Research.

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