수론 에서 리우빌 수 (영어 : Liouville number )는 충분히 빠르게 수렴하는 유리수 수열로 근사할 수 있는 초월수 이다.
무리수
x
∈
R
∖
Q
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }
무리성 측도 (영어 : irrationality measure )는 다음과 같다.
μ
(
x
)
=
inf
{
n
∈
R
+
:
|
{
(
p
,
q
)
∈
Z
2
:
|
x
−
p
q
|
<
1
q
n
}
|
<
ℵ
0
}
{\displaystyle \mu (x)=\inf \left\{n\in \mathbb {R} ^{+}\colon \left|\left\{(p,q)\in \mathbb {Z} ^{2}\colon \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}\right\}\right|<\aleph _{0}\right\}}
무리수
x
∈
R
∖
Q
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }
동치 이며, 이를 만족시키는
x
{\displaystyle x}
리우빌 수 라고 한다.
μ
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \mu (x)=\infty }
n
∈
R
+
{\displaystyle n\in \mathbb {R} ^{+}}
|
x
−
p
/
q
|
<
1
/
q
n
{\displaystyle |x-p/q|<1/q^{n}}
p
,
q
∈
Z
{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }
임의의 양의 정수
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
|
x
−
p
/
q
|
<
1
/
q
n
{\displaystyle |x-p/q|<1/q^{n}}
q
≥
2
{\displaystyle q\geq 2}
p
,
q
∈
Z
{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }
임의의 무리수
x
∈
R
∖
Q
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }
μ
(
x
)
≥
2
{\displaystyle \mu (x)\geq 2}
x
{\displaystyle x}
대수적 무리수(즉, 2차 이상의 대수적 실수)일 경우,
μ
(
x
)
=
2
{\displaystyle \mu (x)=2}
초월수 이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 초월수 는 리우빌 수가 아닐 수 있으며, 무리성 측도가 2일 수도 있다.
모든 리우빌 수가 초월수 임은 리우빌 정리 (영어 : Liouville’s theorem )를 사용하여 보일 수 있다. 리우빌 정리에 따르면, 임의의
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
x
{\displaystyle x}
M
∈
Z
+
{\displaystyle M\in \mathbb {Z} ^{+}}
임의의 정수
p
∈
Z
{\displaystyle p\in \mathbb {Z} }
q
∈
Z
+
{\displaystyle q\in \mathbb {Z} ^{+}}
|
x
−
p
/
q
|
>
1
/
(
M
q
n
)
{\displaystyle \left|x-p/q\right|>1/(Mq^{n})}
정리의 조건에 따라
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
n
{\displaystyle n}
기약 다항식
f
∈
Q
[
t
]
{\displaystyle f\in \mathbb {Q} [t]}
M
≥
sup
y
∈
[
x
−
1
,
x
+
1
]
|
f
′
(
y
)
|
{\displaystyle M\geq \sup _{y\in [x-1,x+1]}|f'(y)|}
인 양의 정수
M
∈
Z
+
{\displaystyle M\in \mathbb {Z} ^{+}}
p
∈
Z
{\displaystyle p\in \mathbb {Z} }
q
∈
Z
+
{\displaystyle q\in \mathbb {Z} ^{+}}
|
x
−
p
/
q
|
>
1
{\displaystyle |x-p/q|>1}
|
x
−
p
q
|
>
1
≥
1
M
q
n
{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>1\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}}
이다. 만약
|
x
−
p
/
q
|
≤
1
{\displaystyle |x-p/q|\leq 1}
f
{\displaystyle f}
q
n
|
f
(
p
/
q
)
|
{\displaystyle q^{n}|f(p/q)|}
평균값 정리 에 따라
M
q
n
|
x
−
p
q
|
≥
q
n
|
f
(
p
q
)
−
f
(
x
)
|
=
q
n
|
f
(
p
q
)
|
≥
1
{\displaystyle Mq^{n}\left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geq q^{n}\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)-f(x)\right|=q^{n}\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\geq 1}
이다.
이제, 귀류법 을 사용하여, 리우빌 수
x
{\displaystyle x}
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
2
k
−
n
>
M
{\displaystyle 2^{k-n}>M}
인 양의 정수
k
∈
Z
+
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}
p
,
q
∈
Z
{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }
1
q
k
>
|
x
−
p
q
|
>
1
M
q
n
{\displaystyle {\frac {1}{q^{k}}}>\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{Mq^{n}}}}
q
≥
2
{\displaystyle q\geq 2}
따라서
M
>
q
k
−
n
≥
2
k
−
n
>
M
{\displaystyle M>q^{k-n}\geq 2^{k-n}>M}
이며, 이는 모순이다.
리우빌 수의 집합의 크기 는 실수와 같은
2
ℵ
0
{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}
리우빌 수의 집합은 제1 범주 집합 의 여집합이며, (실수선
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
베르 공간 이므로) 특히 이는 조밀 집합 이다.
리우빌 수의 집합의 르베그 측도 는 0이며, 보다 일반적으로 임의의 차원의 하우스도르프 측도 는 0이다.
다음은 일부 무리수 의 무리성 측도 또는 그 상계들이다.
μ
(
e
)
=
2
{\displaystyle \mu (e)=2}
μ
(
π
)
≤
7.103205
⋯
{\displaystyle \mu (\pi )\leq 7.103205\cdots }
[ 1]
μ
(
π
2
)
≤
5.441243
{\displaystyle \mu (\pi ^{2})\leq 5.441243}
μ
(
π
/
3
)
≤
4.230464
⋯
{\displaystyle \mu (\pi /{\sqrt {3}})\leq 4.230464\cdots }
μ
(
ζ
(
2
)
)
=
μ
(
π
2
/
6
)
≤
5.09541178
⋯
{\displaystyle \mu (\zeta (2))=\mu (\pi ^{2}/6)\leq 5.09541178\cdots }
μ
(
ζ
(
3
)
)
≤
5.513891
{\displaystyle \mu (\zeta (3))\leq 5.513891}
μ
(
ln
2
)
≤
3.8913998
{\displaystyle \mu (\ln 2)\leq 3.8913998}
μ
(
ln
3
)
≤
5.125
{\displaystyle \mu (\ln 3)\leq 5.125}
μ
(
arctan
(
1
/
3
)
)
≤
6.096755
⋯
{\displaystyle \mu (\arctan(1/3))\leq 6.096755\cdots }
여기서
e
{\displaystyle e}
자연 로그의 밑 ,
π
{\displaystyle \pi }
원주율 ,
ζ
{\displaystyle \zeta }
리만 제타 함수 ,
arctan
{\displaystyle \arctan }
아크탄젠트 ,
ln
{\displaystyle \ln }
자연 로그 이다.
리우빌 상수 (영어 : Liouville’s constant )
c
=
∑
n
=
1
∞
10
−
n
!
=
0.1100010000000000000000010
…
{\displaystyle c=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!}=0.1100010000000000000000010\dots }
OEIS 의 수열 A012245 )는 리우빌 수이다.[ 2] [ 3]
b
≥
2
{\displaystyle b\geq 2}
a
1
,
a
2
,
⋯
∈
{
0
,
1
,
…
,
b
−
1
}
{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots \in \{0,1,\dots ,b-1\}}
0
=
a
n
=
a
n
+
1
=
⋯
{\displaystyle 0=a_{n}=a_{n+1}=\cdots }
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
∑
n
=
1
∞
a
n
b
−
n
!
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b^{-n!}}
은 리우빌 수이다.
순환 소수 가 아니므로
c
{\displaystyle c}
무리수 이다.
임의의
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
q
=
10
n
!
{\displaystyle q=10^{n!}}
p
=
10
n
!
∑
k
=
1
n
10
−
k
!
{\displaystyle p=10^{n!}\sum _{k=1}^{n}10^{-k!}}
를 취하면
|
c
−
p
q
|
=
∑
k
=
n
+
1
∞
10
−
k
!
<
1
q
n
{\displaystyle \left|c-{\frac {p}{q}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }10^{-k!}<{\frac {1}{q^{n}}}}
이다. 즉,
c
{\displaystyle c}
조제프 리우빌 의 이름을 땄다.
↑ Zeilberger, Doron; Zudilin, Wadim (2020년 1월 7일). “The irrationality measure of π is at most 7.103205334137…”. 《Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory》 9 (4): 407–419. arXiv :1912.06345 . doi :10.2140/moscow.2020.9.407 . S2CID 209370638 . ↑ CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition (공)저: Eric W. Weisstein (P1782L30)
↑ What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, Second Edition the late Richard Courant and Herbert Robbins Revised by Ian Stewart (Liouville number)