Bruch [1]

[323] Bruch. Sind a und b zwei beliebige Größen, so heißt die Größe

a/b = a : b = a/b,

die mit b multipliziert die Größe a ergibt, der Bruch mit dem Zähler a und dem Nenner b.

Bezeichnen a und b reelle ganze Zahlen, so bedeutet der Bruch a/b, daß man die Einheit in b gleiche Teile zu teilen und a solcher Teile zu nehmen hat. Der Bruch heißt dann ein echter oder unechter, je nachdem sein Zähler kleiner oder größer als sein Nenner ist. Der Wert eines Bruchs wird nicht geändert, wenn man Zähler und Nenner mit derselben beliebigen Zahl multipliziert, was den Bruch »erweitern« genannt wird. Einen Bruch »verkürzen« bedeutet, Zähler und Nenner, wenn sie einen gemeinsamen Faktor haben, durch diesen dividieren. Nötigenfalls durch Verkürzung läßt sich jeder Bruch auf kleinste Benennung, d.h. solche Form bringen, daß Zähler und Nenner teilerfremd sind. Brüche mit demselben Nenner werden addiert oder subtrahiert, indem man ihre Zähler addiert bezw. subtrahiert; Brüchen mit verschiedenen Nennern gibt man zuvor durch entsprechende Erweiterung einen gemeinschaftlichen Nenner gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ihrer ursprünglichen Nenner. Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert oder dividiert, indem man seinen Zähler mit jener Zahl multipliziert bezw. dividiert, oder auch, indem man seinen Nenner mit dieser dividiert bezw. multipliziert. Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner multipliziert. Man dividiert mit einem Bruch, indem man mit dem umgekehrten (reziproken) Bruch multipliziert.

Brüche, deren Nenner Potenzen von 10 sind, heißen Dezimalbrüche, alle andern gemeine Brüche. Dezimalbrüche werden ohne Nenner geschrieben, indem man die Zehntel und Einer durch ein Komma trennt. Wird ein auf kleinste Benennung gebrachter gemeiner Bruch a/b durch wirkliche Division mit b in a in einen Dezimalbruch verwandelt, so entsteht ein periodischer unendlicher Dezimalbruch, wenn der Nenner durch eine von 2 und 5 verschiedene Primzahl teilbar ist, andernfalls ein endlicher Dezimalbruch. Um einen periodischen unendlichen Dezimalbruch in einen gemeinen Bruch umzuwandeln, benutzt man den Umstand, daß