[957] Zahlen, Mengen von Einheiten ein und derselben Art. Die Lehre von den Zahlen (Zahlentheorie) beherrscht gegenwärtig fall die gesamte reine Mathematik und drückt verschiedenen Zweigen derselben (z.B. der Algebra, Funktionentheorie, Geometrie) ihr besonderes Gepräge auf.
Zu den zunächst gegebenen positiven ganzen Zahlen treten durch Subtraktion die negativen (die Grenze beider bildet die Null); durch Division die gebrochenen Zahlen. Zwischen diese rationalen Zahlen schieben sich, die Zwischenräume stetig erfüllend, die irrationalen Zahlen ein. Diese lind teils algebraisch (d.h. Wurzeln von Gleichungen mit rationalen Koeffizienten), z.B. 1 + √2, teils transzendent, z.B. π, e. Diesen einfachen Zahlen stehen endlich die aus mehreren Haupteinheiten zusammengesetzten gegenüber, unter welchen die gewöhnlichen komplexen Zahlen von der Form a + b √(–1) die wichtigsten sind.
Die Zahlentheorie beschäftigt sich zunächst mit den ganzen Zahlen, insbesondere mit der Teilbarkeit derselben. Eine Zahl, welche außer der Einheit und sich selbst keinen Teiler hat, heißt (absolute) Primzahl, z.B. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...; Zahlen, welche keinen gemeinsamen Teiler haben, heißen relative Primzahlen, z.B. 35 und 48. Eine Zahl, die keine Primzahl ist, kann nur auf eine Art als Produkt von Potenzen von Primzahlen dargestellt werden, z.B. 360 = 23 · 32 · 5. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Ob eine Zahl n eine Primzahl ist, kann nur durch Versuche, d.h. durch Division mit allen Primzahlen, die kleiner als √n sind, entschieden werden. Die Zahl der relativen Primzahlen zu n, welche positiv und nicht größer als n sind, ist φ(n) = n (1 – 1/p1) (1 – 1/p2)..., wenn n = p1α p2 β ... die Zerlegung von n in seine Primfaktoren ist. Eine Zahl heißt vollkommen, wenn sie gleich der Summe ihrer sämtlichen Teiler (sie selbst natürlich ausgenommen) ist, z.B. 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Zwei Zahlen heißen befreundet (amikabel), wenn jede gleich der Summe sämtlicher Teiler der andern (die Zahlen selbst ausgenommen) ist, z.B. 220 und 284. Es ist nämlich 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142; 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110. Zwei Zahlen, a und b, welche bei Division mit m denselben Rest geben, heißen kongruent in bezug auf den Modul m. Man schreibt dies a ≡ b (mod m) und nennt diese Formel eine Kongruenz. Z.B. ist 22 ≡ 40 (mod 9). Fermatscher Satz: Ist p eine Primzahl, a durch dieselbe nicht teilbar, so ist ap–1 ≡ 1 (mod p), z.B. 26 = 64≡1 (mod 7). Wilsonscher Satz: Ist p eine Primzahl, so ist 1 2 3 ... (p – 1) ≡ (p – 1) mod p, z.B. 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720 ≡ 6 (mod 7). Eine Zahl n wird in bezug auf den Modul m als quadratischer Rest oder Nichtrest bezeichnet, je nachdem die Kongruenz x2 ≡ n (mod m) lösbar ist oder nicht, d.h. je nachdem es eine ganze Zahl x gibt, die dieser Kongruenz genügt. Die Zahl –1 ist quadratischer Rest von jeder Primzahl von der Form 4R + 1 und Nichtrest von jeder Primzahl 4R + 3. Reziprozitätsgesetz von Legendre: Hat wenigstens eine der beiden Primzahlen p und q die Form 4 R + 1, so sind entweder beide quadratische Reste (z.B. 5 und 31) oder Nichtreste (z.B. 5 und 7) voneinander. Haben aber beide die Form 4R + 3, so ist eine Rest, die andre Nichtrest der andern (z.B. 11 ist Rest von 7, 7 Nichtrest von 11).
Weitere Teile der (höheren) Zahlentheorie sind die Lehre von den homogenen Formen, insbesondere von den binären quadratischen Formen a x2 + 2b x y + c y2, wobei a, b, c ganze Zahlen sind. Mit diesen Untersuchungen hängt die ganzzahlige Lösung der unbestimmten sogenannten Pellschen Gleichung x2 – D y2 = 1 zusammen. Hieran schließt sich die Lehre von den höheren Potenzresten und den höheren Kongruenzen, von den Kreisteilungsgleichungen, von den sogenannten algebraischen Zahlkörpern (d.h. dem Inbegriff aller Zahlen, welche rationale Funktionen gegebener algebraischer Zahlen sind), von den gewöhnlichen und höheren komplexen Zahlen, endlich von den sogenannten Idealen, d.h. solchen Systemen algebraischer Zahlen α1 α2 ..., bei welchen alle linearen Kombinationen derselben λ1 α1 + λ2 α2 + ... (λ1 λ2 ... ganze Zahlen) wieder dem System angehören.
Literatur. Von den angeführten Werken eignen sich [2], [6], [14] und vor allem [24] besonders zur Einführung; [12] ist streng wissenschaftlich gehalten; [18]–[21] sind Tabellenwerke; [1] Schwarz, Elemente der Zahlentheorie, Halle 1855. – [2] Wertheim, Elemente der Zahlentheorie, Leipzig 1887. – [3] Tchebycheff, Theorie der Kongruenzen, deutsch von Schapira, Berlin 1889. – [4] Lucas, Théorie des nombres, Paris 1891. – [5] Weber, Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen, Braunschweig 1891. – [6] Bachmann, Zahlentheorie, Bd. 1, Die Elemente der Zahlentheorie, Leipzig 1892, Bd. 2, Die analytische Zahlentheorie, Leipzig 1894, Bd. 3, Die Lehre von der Kreisteilung, Leipzig 1872, Bd. 4, Die Arithmetik der quadratischen Formen I, Leipzig 1898. – [7] Scheffler, H., Beiträge zur Zahlentheorie, insbesondere zur Kreis- und Kugelteilung, Leipzig 1892, – [8] Ders., Die quadratische Zerfällung der Primzahlen, Leipzig 1892. – [9] Speckmann, Beiträge zur Zahlentheorie, Oldenburg 1893. – [10] Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? 3. Aufl., Braunschweig 1893. – [11] Legendre, Zahlentheorie, deutsch von Maser, 3. Aufl., Bd. 1 u. 2, Leipzig 1893. – [12] Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, 4. Aufl., herausgegeben von Dedekind, Braunschweig 1894. – [13] Tannery, J., Introduction à l'étude de la théorie des nombres et de l'algèbre supérieure, Paris 1895. – [14] Stieltjes, Essai sur la théorie des nombres, Paris 1895. – [15] Minkowski, Geometrie der Zahlen, Bd. 1, Leipzig 1895. – [16] Hilbert, Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung, Bd. 4, Berlin 1897. – [17] Kronecker, Vorlesungen über [957] Mathematik, Bd. 3, Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgegeben von Hensel, Leipzig 1901. – [18] Burckhardt, Tables des diviseurs pour tous les nombres du 1., 2. et 3. million, Paris 1817. – [19] Glaisher, J., Factor table for the 4., 5. and 6. million, London 1879–83. – [20] Dase, Faktorentafeln für alle Zahlen der 7., 8. und 9. Million mit den darin vorkommenden Primzahlen I–III, Hamburg 1862–65. – [21] Reuschle, C.G., Tafeln komplexer Primzahlen, welche aus Wurzeln der Einheit gebildet sind, Berlin 1875. – [22] Bachmann, Niedere Zahlentheorie I, Leipzig 1902. – [23] Klein, Vorlesungen über Zahlentheorie I–II, Leipzig 1895–97. – [24] Wertheim, Anfangsgründe der Zahlentheorie, Braunschweig 1902. – [25] Bachmann, Grundlehren der neueren Zahlentheorie, Leipzig 1907. – [26] Sommer, J., Vorlesungen über Zahlentheorie, Leipzig 1907.
Wölffing.
Adelung-1793: Zählen · Zahlen · Her-zählen
Brockhaus-1911: Cossische Zahlen
Lueger-1904: Figurierte Zahlen · Pythagoräische Zahlen · Bernoullische Zahlen und Funktionen · Eulersche Zahlen
Meyers-1905: Negative Zahlen · Komplexe Zahlen · Reelle Zahlen · Pythagorēische Zahlen · Bernoullische Zahlen · Befreundete Zahlen · Figurierte Zahlen · Eulersche Zahlen
Pierer-1857: Figürliche Zahlen · Vieleckige Zahlen · Zählen · Figurirte Zahlen · Befreundete Zahlen · Bernoullische Zahlen · Dieser Tage will ich zahlen